Теорема о пересечении высот треугольника

Теорема

Доказательство

Дано: АВС, АА₁, ВВ₁ и СС₁ - прямые, содержащие высоты треугольника.

Доказать: АА₁, ВВ₁ и СС₁ пересекаются в одной точке.

Доказательство:

Проведём через каждую вершину АВС прямую, параллельную противоположной стороне.

Получим А₂В₂С₂. Точки А, В и С являются серединами сторон этого треугольника. Действительно, АВ = А₂С и АВ = СВ₂ как противоположные стороны параллелограммов АВА₂С и АВСВ₂, поэтому А₂С = СВ₂. Аналогично С₂А = АВ₂ и С₂В = ВА₂. Кроме того, как следует из построения, СС₁А₂В₂, АА₁В₂С₂ и ВВ₁А₂С₂. Таким образом, прямые АА₁, ВВ₁ и СС₁ являются серединными перпендикулярами к сторонам треугольника А₂В₂С₂. Следовательно, они пересекаются в одной точке. Теорема доказана.

Замечательные точки треугольника: точка пересечения медиан, точка пересечения биссектрис, точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам и точка пересечения высот (или их продолжений).