Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке. |
Дано: АВС, АА1, ВВ1 и СС1 - прямые, содержащие высоты треугольника.
Доказать: АА1, ВВ1 и СС1 пересекаются в одной точке.
Доказательство:
Проведём через каждую вершину АВС прямую, параллельную противоположной стороне.
Получим А2В2С2. Точки А, В и С являются серединами сторон этого треугольника. Действительно, АВ = А2С и АВ = СВ2 как противоположные стороны параллелограммов АВА2С и АВСВ2, поэтому А2С = СВ2. Аналогично С2А = АВ2 и С2В = ВА2. Кроме того, как следует из построения, СС1А2В2, АА1В2С2 и ВВ1А2С2. Таким образом, прямые АА1, ВВ1 и СС1 являются серединными перпендикулярами к сторонам треугольника А2В2С2. Следовательно, они пересекаются в одной точке. Теорема доказана.
Замечательные точки треугольника: точка пересечения медиан, точка пересечения биссектрис, точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам и точка пересечения высот (или их продолжений).
Свойства диаметров и хорд окружности
Взаимное расположение прямой и окружности
Взаимное расположение двух окружностей
Общие касательные двух окружностей
Градусная мера дуги окружности
Углы, образованные хордами, касательными и секущими
Свойства серединного перпендикуляра к отрезку