Теорема о пересечении высот треугольника

Теорема

Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке.

Доказательство

Дано: АВС, АА1, ВВ1 и СС1 - прямые, содержащие высоты треугольника.

Доказать: АА1, ВВ1 и СС1 пересекаются в одной точке.

Доказательство:

Проведём через каждую вершину АВС прямую, параллельную противоположной стороне.

Получим А2В2С2. Точки А, В и С являются серединами сторон этого треугольника. Действительно, АВ = А2С и АВ = СВ2 как противоположные стороны параллелограммов АВА2С и АВСВ2, поэтому А2С = СВ2. Аналогично С2А = АВ2 и С2В = ВА2. Кроме того, как следует из построения, СС1А2В2, АА1В2С2 и ВВ1А2С2. Таким образом, прямые АА1, ВВ1 и СС1 являются серединными перпендикулярами к сторонам треугольника А2В2С2. Следовательно, они пересекаются в одной точке. Теорема доказана.

Замечательные точки треугольника: точка пересечения медиан, точка пересечения биссектрис, точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам и точка пересечения высот (или их продолжений).

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Советуем посмотреть:

Взаимное расположение прямой и окружности

Касательная к окружности

Градусная мера дуги окружности

Теорема о вписанном угле

Свойство биссектрисы угла

Свойства серединного перпендикуляра к отрезку

Вписанная окружность

Описанная окружность

Окружность