Теорема о вписанном угле

Вписанный угол - угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.

На рисунке 1 угол ВАС вписанный, дуга ВLС расположена внутри этого угла. В таком случае говорят, что вписанный угол АВС опирается на дугу ВLC.

Теорема

Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

Доказательство

Дано: окружность (О), АВС - вписанный, АС - внутри АВС.

Доказать: АВС = АС.

Доказательство:

1 случай

Луч ВО совпадает с одной из сторон угла АВС.

Пусть ВО совпадает с ВС (Рис. 2).

В данном случае дуга АС меньше полуокружности, следовательно, АОС =АС (т.к. АОС - центральный угол, причем он меньше полуокружности, поэтому градусная мера центрального угла равна градусной мере дуги, на которую он опирается).

АВО - равнобедренный с основанием АВ (т.к. ОА = ОВ - радиусы), 1 = 2 (углы при основании). АОС - внешний угол АВО, АОС = 1 + 2 = 21. Следовательно, учитывая то, что АОС =АС, получим: АС = 2 1, откуда 1 = АС, т.е. АВС = АС.

2 случай

Луч ВО делит угол АВС на два угла.

В данном случае луч ВО пересекает дугу АС в некоторой точке D (Рис. 3).

Точка D разделят дугу АС на две дуги: АD и , поэтому АС = АD + .

Луч ВD разделяет угол АВС на два угла, поэтому АВС = АВD + DВС.

По доказанному в 1 случае АВD = АD и DВС = . Складывая эти равенства, получаем: АВD + DВС = АD + или АВD + DВС = (АD + ). Следовательно, АВС = АС.

3 случай

Луч ВО не делит угол АВС на два угла и не совпадает со стороной этого угла.

В данном случае луч ВС пересекает дугу АD в точке С (Рис. 4).

Точка С разделят дугу АD на две дуги: АC и CD, поэтому АD = АC + CD, откуда АC = АD - CD.

Луч ВС разделяет угол АВD на два угла, поэтому АВD = АВC + CВD, откуда АВC = АВD - CВD.

По доказанному в 1 случае АВD = АD и СВD = СD. Вычитая из первого равенства второе, получаем: АВD - СВD = АD - CD или АВD - СВD = (АD - CD). Следовательно, АВС = АС.

Теорема доказана.

Следствия из теоремы о вписанном угле

1. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны (Рис. 5).

 

2. Вписанный угол, опирающийся на полуокружность, - прямой  (рис. 6).

Теорема

Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

Доказательство

Дано: окружность, АВ и СD - хорды, АВСD = Е (Рис. 7).

Доказать: АЕВЕ = СЕ.

Доказательство:

В АDЕ и СВЕ: 1 = 2, т.к. они вписанные и опираются на одну и ту же дугу ВD (смотри следствие 1 из теоремы о вписанном угле), 3 = 4 как вертикальные углы, следовательно, треугольники АDЕ и СВЕ подобны (по 1 признаку подобия треугольников). В подобных треугольниках сходственные стороны пропорциональны, поэтому , откуда АЕВЕ = СЕ. Теорема доказана.

Теорема

Угол между касательной и хордой, проведенной в точку касания, равен половине дуги, стягиваемой этой хордой.

Доказательство

Дано: окр.(О, ), АВ - хорда, АС - касательная, А - точка касания.

Доказать: ВАС = АВ.

Доказательство:

АОВ - равнобедренный с основанием АВ, т.к. ОА = ОВ = , значит, ОАВ = ОВА (как углы при основании), при этом ОААС (свойство касательной), поэтому ОАВ = ОВА = 900 - ВАС. Следовательно, по теореме о сумме углов треугольника: АОВ = 1800 - 2·(900 - ВАС) = 1800 - 1800 + 2ВАС = 2ВАС, откуда ВАС = АОВ. АОВ - центральный, поэтому ВАС = АВ. Теорема доказана.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Советуем посмотреть:

Взаимное расположение прямой и окружности

Касательная к окружности

Градусная мера дуги окружности

Свойство биссектрисы угла

Свойства серединного перпендикуляра к отрезку

Теорема о пересечении высот треугольника

Вписанная окружность

Описанная окружность

Окружность

Правило встречается в следующих упражнениях:

7 класс

Задание 653, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 658, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 662, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 667, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 670, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 14, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 26, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1035, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1134, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1286, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник