Упражнение 385 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) Графический способ:

\(\begin{cases} x^2 + y^2 = 16,\\ x - y = 4 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x^2 + y^2 = 16,\\ y = x - 4 \end{cases}\)

\( x^2 + y^2 = 16\) - окружность с центром в точке \((0; 0)\) и \(r = 4\).

\(y = x - 4\) - прямая.

\((0; -4)\), \((4; 0)\) - решения системы.

Аналитический способ:

\(\begin{cases} x^2 + y^2 = 16,\\ x - y = 4 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x^2 + y^2 = 16,\\ x = y + 4 \end{cases}\)

\((y+4)^2 + y^2 = 16\)

\(y^2 + 8y + 16 + y^2 - 16 = 0\)

\(2y^2 + 8y = 0\)

\(2y(y + 4) = 0\)

\(y = 0\)  или  \(y + 4 = 0\)

                    \(y = -4\)

Если \(y = 0\), то

\(x = 0 + 4= 4\).

Если \(y = -4\), то

\(x = -4 + 4 = 0\).

Ответ: \((4; 0)\), \((0; -4)\).

б) Графический способ:

\(\begin{cases} y = x^2 + 1,\\ x + 2y = 5 \end{cases}\)

\(\begin{cases} y = x^2 + 1,\\ 2y = -x + 5  / : 2 \end{cases}\)

\(\begin{cases} y = x^2 + 1,\\ y = -0,5x + 2,5 \end{cases}\)

\(y = x^2 + 1\) - парабола, ветви которой направлены вверх.

\(y = -0,5x + 2,5\) - прямая.

\((1; 2)\), \((-1,5; 3,25)\) - решения системы.

Аналитический способ:

\(\begin{cases} y = x^2 + 1,\\ x + 2y = 5 \end{cases}\)

\(\begin{cases} y = x^2 + 1,\\ x + 2(x^2 + 1) = 5 \end{cases}\)

\(x + 2(x^2 + 1) = 5\)

\(x + 2x^2 + 2 - 5 = 0\)

\(2x^2 + x - 3 = 0\)

\(D = 1^2 - 4\cdot2\cdot(-3) =\)

\(= 1 + 24 = 25 > 0\) - 2 корня.

\(\sqrt{25} = 5\).

\(x_1 = \dfrac{-1 + 5}{2\cdot2}=\dfrac{4}{4}=1\).

\(x_2 = \dfrac{-1 - 5}{2\cdot2}=\dfrac{-6}{4}=-\dfrac{-3}{2} =\)

\(=-1,5\).

1) Если \(x = 1\), то

\(y = 1^2 + 1= 2\).

2) Если \(x = -1,5\), то

\(y = (-1,5)^2 + 1 = 2,25 + 1 = 3,25\)

Ответ: \((1; 2)\), \((-1,5; 3,25)\) .

Пояснения:

Решением системы уравнений с двумя переменными называют пару значений переменных, обращающую каждое уравнение в верное равенство. Решить систему уравнений - это значит найти все ее решения или убедиться, что их нет.

Суть графического метода решения системы уравнений с двумя переменными:

1) построить на одной координатной плоскости графики уравнений, входящих в систему;

2) найти координаты всех точек пересечения построенных графиков;

3) полученные пары чисел и будут искомыми решениями.

Чтобы решить систему аналитически, использовали метод подстановки:

1) выразить из любого уравнения системы одну переменную через другую;

2) подставить в другое уравнение системы вместо этой переменной выражение, полученное на первом шаге;

3) решить уравнение с одной переменной, полученное на втором шаге;

4) подставить найденное значение переменной в выражение, полученное на первом шаге;

5) вычислить значение другой переменной.

Квадратные уравнения вида

\( ax^2 + bx + c = 0\)

решаем через дискриминант:

\(D = b^2 - 4ac\).

Если \(D > 0\), то уравнение имеет 2 корня:

\( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}. \)

а) \( \begin{cases} x^2 + x - 6 < 0,\\ -x^2 + 2x + 3 > 0 \end{cases} \)

1) \(x^2 + x - 6 < 0\)

\(y = x^2 + x - 6\) - парабола, ветви которой направлены вверх.

\(x^2 + x - 6 = 0\)

\(D = 1^2 - 4\cdot1\cdot(-6) =\)

\(=1 + 24 = 25 > 0\) - 2 корня.

\(\sqrt{25} = 5\).

\(x_1 = \frac{-1 + 5}{2\cdot1} = \frac{4}{2} = 2. \)

\(x_2 = \frac{-1 - 5}{2\cdot1} = \frac{-6}{2} = -3. \)

2) \(-x^2 + 2x + 3 > 0\)

\(y = -x^2 + 2x + 3\) - парабола, ветви которой направлены вниз.

\(-x^2 + 2x + 3 = 0\)  \(/\times (-1)\)

\(x^2 - 2x - 3 = 0\)

\(D = (-2)^2 - 4\cdot1\cdot(-3) =\)

\(= 4 + 12 = 16 > 0\) - 2 корня.

\(\sqrt{16} = 4\).

\(x_1 = \frac{2 + 4}{2\cdot1} = \frac{6}{2} = 3\).

\(x_2 = \frac{2 - 4}{2\cdot1} = \frac{-2}{2} = -1\).

Ответ: \(x \in (-1; 2)\).

б) \( \begin{cases} x^2 + 4x - 5 > 0,\\ x^2 - 2x - 8 < 0 \end{cases} \)

1) \(x^2 + 4x - 5 > 0\)

\(y = x^2 + 4x - 5\) - парабола, ветви которой направлены вверх.

\(x^2 + 4x - 5 = 0\)

\(D = 4^2 - 4\cdot1\cdot(-5) = \)

\(=16 + 20 = 36 > 0\) - 2 корня.

\(\sqrt{36} = 6\).

\(x_1=\frac{-4 + 6}{2\cdot 1} = \frac{2}{2} =1\).

\(x_2=\frac{-4 - 6}{2\cdot 1} = \frac{-10}{2} =-5\).

2) \(x^2 - 2x - 8 < 0\)

\(y = x^2 - 2x - 8 \) - парабола, ветви которой направлены вверх.

\(x^2 - 2x - 8 = 0\)

\(D = (-2)^2 - 4\cdot1\cdot(-8) = \)

\(=4 + 32 = 36 > 0\) - 2 корня.

\(\sqrt{36} = 6\).

\(x_1 = \frac{2 + 6}{2\cdot1} = \frac{8}{2} = 4\).

\(x_2 = \frac{2 - 6}{2\cdot1} = \frac{-4}{2} = -2\).

\(x \in (1; 4)\)

Ответ: \(x \in (1; 4)\).

Пояснения:

Решение системы неравенств — это пересечение множеств решений всех неравенств системы. Поэтому после нахождения промежутков для каждого неравенства мы строим их пересечение.

Решение неравенств вида

\(ax^2 + bx + c > 0\), \(ax^2 + bx + c < 0\):

1) находим корни квадратного трехчлена \(ax^2 + bx + c\), если они есть;

2) если трехчлен имеет корни, то отмечаем их на оси \(x\) и через отмеченные точки проводим схематически параболу, ветви которой направлены вверх при \(a > 0\) или вниз при \(a < 0\); если трехчлен не имеет корней, то схематически изображают параболу, расположенную в верхней полуплоскости при \(a > 0\) или нижней при \(a < 0\);

3) находят на оси \(x\) промежутки, для которых точки параболы расположены выше оси \(x\) (если решают неравенство вида \(ax^2 + bx + c > 0\)) или ниже оси \(x\) (если решают неравенство вида \(ax^2 + bx + c < 0\)).

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку.

Дискриминант квадратного трехчлена

\(ax^2 + bx + c \):

\(D = b^2 - 4ac\).

Если \(D > 0\), то квадратный трехчлен имеет 2 корня:

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\).