Упражнение 371 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\[ (x - 4)^2 + (y + m)^2 = 15 \]

\(a = 4\),  \(b = -m\).

\((4; \, -m)\) - центр окружности.

VI четверть: \(x > 0\), \(y < 0\).

\(4 > 0\)

\(-m < 0\)   \(/\times (-1)\)

\( m > 0\)

Ответ: центр окружности расположен в IV четверти при \( m > 0\).

Пояснения:

Уравнение окружности имеет вид:

\[ (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2. \]

В нашем случае:

\[ a = 4,\quad b = -m. \]

Значит центр окружности: \((4,\,-m)\).

Чтобы центр находился в четвёртой четверти, должны выполняться условия:

\[ x > 0,\quad y < 0. \]

Проверим эти условия:

1) \(4 > 0\) — верно всегда.

2) Координата \(y = -m\) должна быть отрицательной:

\[ -m < 0, \Rightarrow m > 0. \]

а) \(\dfrac{x^4}{x^2 - 2} + \dfrac{1 - 4x^2}{2 - x^2} + 4 = 0\)

Пусть \(y = x^2\), \(y \ge 0\), тогда \(x^4 = y^2\):

\(\dfrac{y^2}{y - 2} + \dfrac{1 - 4y}{2 - y} + 4 = 0\)

\(\dfrac{y^2}{y - 2} - \dfrac{1 - 4y}{y - 2} + 4 = 0\)

\(\dfrac{y^2 - 1 + 4y}{y - 2} + 4 = 0\)  \(/\times y - 2\)

\(y^2 - 1 + 4y + 4(y - 2) = 0\)

\(y^2 - 1 + 4y + 4y - 8 = 0\)

\(y^2 + 8y - 9 = 0\)

\(D = 8^2 - 4\cdot1\cdot(-9)=\)

\(=65 + 36 = 100 > 0\) - 2 корня.

\(\sqrt{100} = 10\).

\(y_{1} = \dfrac{-8 + 10}{2\cdot1} =\dfrac{2}{2} = 1\).

\(y_{2} = \dfrac{-8 - 10}{2\cdot1} =\dfrac{-18}{2} = -9 < 0\) - не удовлетворяет условию \(y \ge 0\).

\(y = x^2 \ge 0 \Rightarrow y = 1\)

Если \(y = 1\), то

\(x^2 = 1\)

\(x = \pm \sqrt1\)

\(x = \pm 1\)

Ответ: \(-1; \, 1\).

б) \(\dfrac{x^2 + 3}{x^2 + 1} + \dfrac{2}{x^2 - 4} + \dfrac{10}{x^4 - 3x^2 - 4} = 0\)

Пусть \(y = x^2\), \(y \ge 0\), тогда \(x^4 = y^2\):

\(\dfrac{y + 3}{y + 1} + \dfrac{2}{y - 4} + \dfrac{10}{y^2 - 3y - 4} = 0\)

\(y^2 - 3y - 4 = 0\)

\(D = (-3)^2 - 4\cdot1\cdot(-4) =\)

\(=9 + 16 = 25 > 0\) - 2 корня.

\(\sqrt{25} = 5\).

\(y_1 = \dfrac{3 + 5}{2\cdot1} =\dfrac{8}{2} = 4\).

\(y_1 = \dfrac{3 - 5}{2\cdot1} =\dfrac{-2}{2} = -1\).

\(y^2 - 3y - 4 = (y - 4)(y + 1)\)

\(\dfrac{y + 3}{y + 1} + \dfrac{2}{y - 4} + \dfrac{10}{(y - 4)(y + 1)} = 0\) \(/\times (y - 4)(y + 1)\)

ОДЗ: \(y - 4 \ne 0\)  и  \(y + 1 \ne 0\)

         \(y \ne 4\)              \(y \ne -1\)

\((y + 3)(y - 4) + 2(y + 1) + 10 = 0\)

\(y^2 - 4y + 3y - 12 + 2y + 2 + 10 = 0\)

\(y^2 + y = 0\)

\(y(y + 1) = 0\)

\(y = 0\)  или  \( y + 1 = 0\)

                    \(y = -1\) - не подходит.

Если \(y = 0\), то

\(x^2 = 0\)

\(x = 0\)

Ответ: \(x = 0\).

Пояснения:

1. В обоих пунктах используются выражения, зависящие только от \(x^2\) и \(x^4\), поэтому удобно сделать подстановку \[ y = x^2,\quad x^4 = y^2. \] Это превращает уравнение с рациональными функциями от \(x\) в уравнение с рациональными функциями от \(y\), причём степени уменьшаются.

2. В пункте а) после подстановки получаем дробно-рациональное уравнение \[ \frac{y^2}{y - 2} + \frac{1 - 4y}{2 - y} + 4 = 0. \] Замечаем, что \(2 - y = -(y - 2)\), поэтому вторую дробь можно записать с тем же знаменателем, изменив знак перед дробью на противоположный. Складываем дроби с одинаковыми знаменателями и, домножив уравнение на \(y - 2\), получаем квадратное уравнение \[ y^2 + 8y - 9 = 0, \] решаем квадратное уравнение через дискриминант, получаем 2 корня и оставляем только неотрицательный корень \(y = 1\), так как \(y = x^2 \ge 0\). Далее возвращаемся к \(x\): \(x = \pm 1\).

3. В пункте б) после подстановки уравнение принимает вид

\(\dfrac{y + 3}{y + 1} + \dfrac{2}{y - 4} + \dfrac{10}{y^2 - 3y - 4} = 0\).

Знаменатель \(y^2 - 3y - 4\) разложили на множители через корни квадратного трехчлена, которые нашли через дискриминант и получили:

\[ \frac{y + 3}{y + 1} + \frac{2}{y - 4} + \frac{10}{(y - 4)(y + 1)} = 0. \]

Далее домножили уравнение на знаменатель \((y - 4)(y + 1)\) и, выполнив преобразования, получили уравнение:

\( y^2 + y = 0\).

Вынесли общий множитель \(y\) за скобки:

\(y(y + 1) = 0\).

Откуда \(y = 0 \text{ или } y = -1. \)

С учётом того, что \(y = x^2 \ge 0\) и что \(y = -1\) даёт деление на ноль, остаётся только \(y = 0\), откуда \(x = 0\).