Упражнение 306 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \( 718x^{4} - 717x^{2} - 1 = 0\)

Пусть \(x^{2} = t,\quad t \ge 0. \)

\( 718t^{2} - 717t - 1 = 0\)

\(1\) и \(-1\) - делители свободного члена.

Если \(t = 1\), то

\( 718\cdot1^{2} - 717\cdot1 - 1 = 0\)

\(0 = 0\) - верно.

\(t = 1\) - корень уравнения.

По теореме Виета:

\(1\cdot t_2= -\frac{1}{718}\)

\(t_2= -\frac{1}{718}\)

1) Если \(t = 1\), то

\(x^2 = 1, \Rightarrow x = \pm1\)

2) Если \(t= -\frac{1}{718}\), то

\(x^2 =-\frac{1}{718}\) - не имеет корней.

Ответ: \(x = \pm1\).

б) \( 206x^{4} - 205x^{2} - 1 = 0\)

Пусть \(x^{2} = t,\quad t \ge 0. \)

\(206t^{2} - 205t - 1 = 0\)

\(1\) и \(-1\) - делители свободного члена.

Если \(t = 1\), то

\(206\cdot1^{2} - 205\cdot1 - 1 = 0\)

\(0 = 0\) - верно.

\(t = 1\) - корень уравнения.

По теореме Виета:

\(1\cdot t_2= -\frac{1}{206}\)

\(t_2= -\frac{1}{206}\)

1) Если \(t = 1\), то

\(x^2 = 1, \Rightarrow x = \pm1\).

2) Если \(t = -\frac{1}{206}\), то

\(x^2 = -\frac{1}{206}\) - не имеет корней.

Ответ: \(x = \pm1\).

Пояснения:

Биквадратное уравнение имеет вид \(ax^{4} + bx^{2} + c = 0\). Замена \(t = x^{2}\) превращает его в обычное квадратное уравнение. Далее при решении уравнения используем то, что если многочлен имеет целый корень, то он является делителем свободного члена (последнего числового коэффициента), то есть по свободному члену подбираем один из целых корней уравнения. Затем применяем теорему Виета, согласно которой для уравнения \(at^2 + bt + c = 0\) выполняется равенство:

\(t_1 \cdot t_2 = \frac ca\),

откуда находим второй корень уравнения.

Далее возвращаемся к переменной \(x\) и решаем уравнения вида

\(x^2 = t\), учитывая то, что \(t\ge0\), и получаем \(x = \pm \sqrt t\)

а) \(2x^2 + 13x - 7 > 0\)

\(y = 2x^2 + 13x - 7 \) - парабола, ветви которой направлены вверх, так как \(a = 2 > 0\).

\(2x^2 + 13x - 7 = 0\)

\(D = 13^2 - 4\cdot 2 \cdot (-7) =\)

\(=169 + 56 = 225 > 0\) - 2 корня.

\(\sqrt{225} = 15\)

\(x_{1} = \dfrac{-13 - 15}{2\cdot2} = \dfrac{-28}{4} = -7.\)

\(x_{2} =\dfrac{-13 + 15}{2\cdot2} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2} = 0,5.\)

Ответ: \(x \in (-\infty; -7) \cup (0,5; +\infty)\).

б) \(-9x^2 + 12x - 4 < 0\)

\(y = -9x^2 + 12x - 4\) - парабола, ветви которой направлены вниз, так как \(a = -9 < 0\).

\(D = 12^2 - 4\cdot(-9)\cdot(-4) = \)

\(=144 - 144 = 0\) - 1 корень.

\(x = \dfrac{-12}{2\cdot(-9)} = \dfrac{-12}{-18} = \dfrac{2}{3}.\)

Ответ: \(x \in \bigg(-\infty;\, \frac23\bigg) \cup \bigg(\frac23; \, +\infty\bigg)\).

в) \(6x^2 - 13x + 5 \le 0\)

\(y = 6x^2 - 13x + 5\) - парабола, ветви которой направлены вверх, так как \(a = 6 > 0\).

\(6x^2 - 13x + 5 = 0\)

\(D = (-13)^2 - 4\cdot 6 \cdot 5 =\)

\(=169 - 120 = 49 > 0\) - 2 корня.

\(\sqrt{49} = 7\).

\(x_{1} = \dfrac{13 - 7}{12} = \dfrac{6}{12} = \dfrac{1}{2}.\)

\(x_{2} = \dfrac{13 + 7}{12} = \dfrac{20}{12} = \dfrac{5}{3} = 1\dfrac{2}{3}.\)

Ответ: \(x \in \left[\frac12; \, 1\frac23\right]\).

г) \(-2x^2 - 5x + 18 \le 0\)

\(y=-2x^2 - 5x + 18\) - парабола, ветви которой направлены вниз, так как \(a = - 2 < 0\).

\(-2x^2 - 5x + 18 = 0\)

\(D = (-5)^2 - 4\cdot(-2)\cdot 18 =\)

\(=25 + 144 = 169 >0\) - 2 корня.

\(\sqrt{169} = 13\).

\(x_{1} = \dfrac{5 - 13}{-4} = \dfrac{-8}{-4} = 2.\)

\(x_{2} = \dfrac{5 + 13}{-4} = \dfrac{18}{-4} = -\dfrac{9}{2} = -4,5.\)

Ответ: \(x \in (-\infty; -4,5] \cup [2; +\infty)\).

д) \(3x^2 - 2x > 0\)

\(y = 3x^2 - 2x \) - парабола, ветви которой направлены вверх, так как \(a = 3 > 0\).

\(3x^2 - 2x = 0\)

\(x(3x-2) = 0\)

\(x=0\)   или   \(3x-2=0 \)

                       \(3x = 2\)

                       \(x=\dfrac{2}{3}\)

Ответ: \(x \in (-\infty; 0) \cup (\frac23; +\infty)\).

е) \(8 - x^2 < 0\)

\(y = 8 - x^2\) - парабола, ветви которой направлены вниз, так как \(a = - 1 < 0\).

\(8 - x^2 = 0\)

\(-x^2 = -8\)

\(x^2 - 8\)

\(x = \pm \sqrt8\)

\(x = \pm \sqrt{4\cdot2}\)

\( x=\pm2\sqrt{2}\)

Ответ: \(x \in (-\infty; -2\sqrt{2}) \cup (2\sqrt{2}; +\infty)\).

Пояснения:

Решение неравенств вида

\(ax^2 + bx + c > 0\), \(ax^2 + bx + c \ge 0\),

\(ax^2 + bx + c < 0\), \(ax^2 + bx + c \le 0\):

1) находим корни квадратного трехчлена \(ax^2 + bx + c\), если они есть;

2) если трехчлен имеет корни, то отмечаем их на оси \(x\) и через отмеченные точки проводим схематически параболу, ветви которой направлены вверх при \(a > 0\) или вниз при \(a < 0\); если трехчлен не имеет корней, то схематически изображают параболу, расположенную в верхней полуплоскости при \(a > 0\) или нижней при \(a < 0\);

3) находят на оси \(x\) промежутки, для которых точки параболы расположены выше оси \(x\) (если решают неравенство \(ax^2 + bx + c > 0\)) или ниже оси \(x\) (если решают неравенство \(ax^2 + bx + c < 0\)), выше оси \(x\) и на оси \(x\) (если решают неравенство \(ax^2 + bx + c \ge 0\)) или ниже оси \(x\) и на оси \(x\) (если решают неравенство \(ax^2 + bx + c \le 0\)).

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку.

Если знак неравенства нестрогий (\(\geq\)  или \(\leq\)), то точку на координатной прямой делаем закрашенной, а при записи промежутка используем квадратную скобку.

У \(-\infty\) и \(+\infty\) при записи промежутка скобка всегда круглая.

Дискриминант квадратного трехчлена

\(ax^2 + bx + c \):

\(D = b^2 - 4ac\).

Если \(D > 0\), то квадратный трехчлен имеет 2 корня:

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\).

Если \(D = 0\), то квадратный трехчлен имеет 1 корень:

\(x = -\frac{b}{2a}\).

Если \(D < 0\), то квадратный трехчлен не имеет корней.

В случае, когда коэффициент \(c = 0\), то есть имеем двучлен \(ax^2 + bx\), корни находим разложением многочлена на множители \(x(ax + b)\) и используем то, что произведение равно нулю только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю: \(x = 0\)  или \(ax + b = 0\), откуда \(x = -\frac{b}{a}\).

В случае, когда коэффициент \(b = 0\), то есть имеем двучлен \(ax^2 + c\), корни которого: \(x_1 = -\sqrt{\frac{-c}{a}}\) и \(x_2= \sqrt{\frac{-c}{a}}\).