Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№835 учебника 2023-2026 (стр. 207):
Найдите область определения и множество значений функции:
а) \(f(x)=x^2-10x-17\);
б) \(g(x)=\dfrac{1}{|x|-x}\).
№835 учебника 2014-2022 (стр. 216):
(Для работы в парах.) Сколько чётных четырёхзначных чисел, в которых цифры не повторяются, можно записать с помощью цифр:
а) \(1, 2, 3, 7\);
б) \(1, 2, 3, 4\)?
1) Обсудите, чем состоит различие заданий а) и б).
2) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните их.
3) Проверьте друг у друга правильность выполнения заданий и исправьте ошибки, если они допущены.
№835 учебника 2023-2026 (стр. 207):
Вспомните:
№835 учебника 2014-2022 (стр. 216):
Вспомните:
№835 учебника 2023-2026 (стр. 207):
а) \(f(x)=x^2-10x-17\) - парабола, ветви вверх, так как \(a = 1 > 0\).
Область определения функции:
\(D(f)=(-\infty;+\infty)\).
\(x_0=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{-10}{2\cdot1}=5\)
\(f(5)=5^2-10\cdot5 - 17=\)
\(=25-50-17=-42\)
Множество значений функции:
\(E(f)=[-42;+\infty)\).
б) \(g(x)=\dfrac{1}{|x|-x}\)
1) Если \(x\ge0\), то
\(|x|=x\)
\(|x|-x=x-x=0\)
2) Если \(x<0\), то
\(|x|=-x\)
\(|x|-x=-x-x=-2x\)
\(g(x)=\dfrac{1}{-2x}\)
Область определения функции:
\(D(g)=(-\infty;0)\).
Так как \(x<0\), то \(-2x>0\), значит \(g(x)>0\).
Множество значений функции:
\(E(g)=(0;+\infty)\).
Пояснения:
1. Квадратичная функция.
Функция \(f(x)=ax^2+bx+c\) определена при всех \(x\in\mathbb{R}\).
Если \(a>0\), ветви параболы направлены вверх.
Координаты вершины параболы:
\((x_0; f(x_0))\), \(x_0=-\frac{b}{2a}.\)
Значение функции в вершине — наименьшее значение.
2. Функция с модулем в знаменателе.
Нужно рассмотреть случаи по определению модуля:
\(|x|=\begin{cases}x,&x\ge0,\\ -x,&x<0.\end{cases}\)
При \(x\ge0\) знаменатель равен нулю, поэтому эти значения исключаются и область определения функции: \(D(f)=(-\infty;+\infty)\).
При \(x<0\) функция принимает вид \(\dfrac{1}{-2x}\).
3. Множество значений.
Так как при \(x<0\) выражение \(-2x\) положительно, функция принимает только положительные значения. При больших по модулю отрицательных \(x\) значение стремится к нулю, а при отрицательных \(x\) близких к нулю стремится к бесконечности. Поэтому множество значений функции: \((0;+\infty)\).
№835 учебника 2014-2022 (стр. 216):
а) \(1, 2, 3, 7\)
На последнем месте цифра \(2\).
\(Р_3 = 3\cdot2\cdot1 = 6\)
Ответ: \(6\) чисел.
б) \(1, 2, 3, 4\)
На последнем месте цифра \(2\) или цифра \(4\).
\(Р_3 = 3\cdot2\cdot1 = 6\) - количество четырехзначных чисел, у которых на последнем месте цифра \(2\), а также количество четырехзначных чисел, у которых на последнем месте цифра \(4\).
\(6 + 6 = 12\)
Ответ: \(12\) чисел.
Пояснения:
Используем два правила.
Чётное число оканчивается на чётную цифру.
\[ 0, 2, 4, 6, 8 \]
Если цифры в числе не повторяются, то после выбора одной цифры число вариантов для следующих разрядов уменьшается.
Четырёхзначное число имеет вид:
\[ abcd \]
Чтобы число было чётным, последняя цифра \(d\) должна быть чётной.
В задании а) даны цифры \(1, 2, 3, 7\).
Среди них только одна чётная цифра: \( 2 \).
Значит, последняя цифра фиксирована - цифра \(2\).
Тогда на первые три места нужно расставить оставшиеся цифры \(1, 3, 7\).
Для первой позиции есть 3 варианта, для второй — 2, для третьей — 1:
\(Р_3 = 3\cdot2\cdot1 = 6\)
Поэтому в пункте а) можно составить \( 6 \) чётных четырёхзначных чисел.
В задании б) даны цифры \(1, 2, 3, 4\).
Среди них две чётные цифры:
\[ 2 \text{ и } 4 \]
Значит, для последней цифры есть 2 варианта.
После выбора последней цифры остаются 3 цифры для первых трёх мест. Для первой позиции есть 3 варианта, для второй — 2, для третьей — 1:
\(Р_3 = 3\cdot2\cdot1 = 6\)
Получается для каждой из цифр \(2\) и \(4\) есть 6 вариантов четырехзначных четных чисел. Тогда общее количество чисел равно:
\(6 + 6 = 12\).
Различие между заданиями а) и б) состоит в количестве чётных цифр среди данных цифр.
В пункте а) чётная цифра только одна, поэтому последняя цифра выбирается единственным способом.
В пункте б) чётных цифр две, поэтому последнюю цифру можно выбрать двумя способами, и из-за этого подходящих чисел получается в 2 раза больше.
Вернуться к содержанию учебника