Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№549 учебника 2023-2026 (стр. 157):
(Для работы в парах.) На стороне \(OA\) угла \(AOB\) от его вершины отложены равные отрезки и через их концы проведены параллельные прямые (рис. 68). Длина отрезка \(A_1B_1\) равна \(1{,}5\) см. Найдите длину отрезка:
а) \(A_5B_5\);
б) \(A_{10}B_{10}\).
1) Обсудите, какое известное вам из курса геометрии свойство надо использовать для решения задачи.
2) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните их.
3) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнено задание, и исправьте ошибки, если они допущены.
№549 учебника 2014-2022 (стр. 142):
Двое туристов идут навстречу друг другу из пунктов \(A\) и \(B\). Первый вышел из пункта \(A\) на 6 ч позже, чем второй из пункта \(B\), и при встрече оказалось, что он прошёл на 12 км меньше второго. Продолжая движение с той же скоростью, первый пришёл в пункт \(B\) через 8 ч, а второй — в пункт \(A\) через 9 ч после встречи. Найдите скорость каждого туриста.
№549 учебника 2023-2026 (стр. 157):
Вспомните:
№549 учебника 2014-2022 (стр. 142):
Вспомните:
№549 учебника 2023-2026 (стр. 157):
1. Так как через точки \(A_1,A_2,\ldots\) проведены параллельные прямые, то треугольники \(OA_1B_1\) и \(OA_nB_n\), \(\ldots\) подобны по двум углам (\(\angle О\) - общий, \(\angle {OA_1B_1} = \angle {OA_nB_n}\) как соответственные углы при параллельных прямых \(A_1B_1\) и \(A_nB_n\) и секущей \(OA_n\)), тогда
\(\dfrac{A_nB_n}{A_1B_1}=\dfrac{OA_n}{OA_1}\)
На луче \(OA\) отложены равные отрезки, значит:
\(OA_n=n\cdot OA_1, \Rightarrow \)
\(\Rightarrow \dfrac{A_nB_n}{A_1B_1}=\dfrac{n\cdot OA_1}{OA_1}=n, \Rightarrow \)
\(\Rightarrow A_nB_n=n\cdot A_1B_1\).
2. а) \(A_5B_5=5\cdot A_1B_1=5\cdot1{,}5=\)
\(=7{,}5\).
б) \(A_{10}B_{10}=10\cdot A_1B_1=10\cdot1{,}5=\)
\(=15\).
Пояснения:
Используем теорему о пропорциональных отрезках (следствие из подобия треугольников): если несколько параллельных прямых пересекают стороны угла (или две пересекающиеся прямые), то они отсекают на этих сторонах пропорциональные отрезки.
В задаче точки \(A_1,A_2,\ldots\) лежат на луче \(OA\) так, что \(OA_1= A_1A_2= A_2A_3=\ldots\). Через эти точки проведены прямые, параллельные друг другу, и они пересекают луч \(OB\) в точках \(B_1,B_2,\ldots\).
Рассмотрим треугольники \(OA_1B_1\) и \(OA_nB_n\). У них общий угол при \(O\), а углы при \(A_1\) и \(A_n\) равны соответствующим углам при параллельных прямых, поэтому треугольники подобны.
Из подобия следует пропорция:
\[\dfrac{A_nB_n}{A_1B_1}=\dfrac{OA_n}{OA_1}.\]
Так как \(OA_n\) состоит из \(n\) равных отрезков \(OA_1\), то \(OA_n=n\cdot OA_1\). Подставляя это в пропорцию, получаем \(A_nB_n=n\cdot A_1B_1\).
Отсюда:
\(A_5B_5=5\cdot1{,}5=7{,}5\) см,
\(A_{10}B_{10}=10\cdot1{,}5=15\) см.
№549 учебника 2014-2022 (стр. 142):
Пусть \(x\) км/ч — скорость первого туриста \((x > 0)\), \(y\) км/ч — скорость второго туриста \((y > 0)\).
Пусть первый шёл до встречи \(t\) ч, тогда он прошел \(xt\) км, а второй после встречи прошел \(9y\) км, значит
\(xt = 9y\),
\(t = \frac{9y}{x}\).
Второй шёл до встречи \(t+6\) ч, тогда он прошел \(y(t+6)\) км, а первый после встречи прошел \(8x\), км, значит,
\(y (t + 6) = 8x\),
\(yt + 6y = 8x\),
\(y\cdot\frac{9y}{x} + 6y = 8x\),
\(\frac{9y^2}{x} + 6y = 8x\).
По условию при встрече первый прошёл на 12 км меньше второго:
\(y(t+6)-xt=12\),
при этом \(y(t + 6) = 8x\), тогда
\(8x - xt = 12\),
\(8x - x\cdot\frac{9y}{x} = 12\),
\(8x - 9y = 12\).
Составим систему уравнений:
\(\begin{cases} \dfrac{9y^2}{x} + 6y = 8x,\\ 8x - 9y = 12 \end{cases}\)
1) \(8x - 9y = 12\)
\(-9y = 12 - 8x\)
\(y = \frac{12 - 8x}{-9}\)
\(y= \frac{8x-12}{9}\)
2) \(\dfrac{9y^2}{x} + 6y = 8x\) \(/\times x\)
ОДЗ: \(x\ne0\).
\(9y^2 + 6xy = 8x^2\)
\(9\cdot\left(\dfrac{8x-12}{9}\right)^2+\dfrac{6x(8x-12)}{9}=8x^2\)
\(\cancel9\cdot\dfrac{(8x-12)^2}{\cancel{81}_ {\color{blue}{9}} }+6x\cdot\dfrac{8x-12}{9}=8x^2\)
\(\dfrac{(8x-12)^2}{9}+6x\cdot\dfrac{8x-12}{9}=8x^2\) \(/\times 9\)
\((8x - 12)^2 + 6x(8x - 12) = 72x^2\)
\(64x^2 - 192x + 144 + 48x^2 - 72x - 72x^2 = 0\)
\(40x^2 - 264x + 144 = 0\) \(/ : 8\)
\(5x^2 - 33x + 18 = 0\)
\(D = (-33)^2 - 4\cdot5\cdot18 = \)
\(=1089 - 360 = 729 > 0\) - два корня.
\(\sqrt {729} = 27\).
\(x_1 = \frac{33 + 27}{2\cdot5} = \frac{60}{10} = 6\).
\(x_2 = \frac{33 - 27}{2\cdot5} = \frac{6}{10} = 0,6\).
Если \(x = 6\), то
\(y= \frac{8\cdot6-12}{9} =\frac{48-12}{9} =\frac{36}{9} =4\).
Если \(x = 0,6\), то
\(y= \frac{8\cdot0,6-12}{9} =\frac{4,8-12}{9} =\)
\(=\frac{-7,2}{9} =-0,8 < 0\) - не удовлетворяет условию.
Ответ: скорость первого туриста \(6\) км/ч, второго туриста \(4\) км/ч.
Пояснения:
Ввели переменные \(x\) и \(y\), соответствующие скоростям туристов. По условию задачи составили систему уравнений, которую решили методом подстановки. Из второго уравнения системы выразили переменную \(y\) через переменную \(x\) и подставили во второе уравнение. В результате преобразований получили квадратное уравнение относительно \(x\).
Квадратное уравнение
\(ax^2 + bx + c = 0\)
решаем через дискриминант
\(D = b^2 - 4ac\).
Если \(D > 0\), то уравнение имеет два корня:
\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\).
Для каждого значения \(x\) находим соответствующее значение \(y\), но в одном случае \(y\) получается отрицательным, чего не может быть, так как скорость не может быть отрицательной. Следовательно, условию задачи удовлетворяет только одно решение системы.
Вернуться к содержанию учебника