Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№546 учебника 2023-2026 (стр. 157):
Найдите двадцать третий и \(n\)-й члены арифметической прогрессии:
а) \(-8;\ -6{,}5;\ \ldots\);
б) \(11;\ 7;\ \ldots\).
№546 учебника 2014-2022 (стр. 142):
Чтобы наполнить бассейн, сначала открыли одну трубу и через 2 ч, не закрывая её, открыли вторую. Через 4 ч совместной работы труб бассейн был наполнен. Одна вторая труба могла бы наполнить бассейн в 1,5 раза быстрее, чем одна первая. За сколько часов можно наполнить бассейн через каждую трубу?
№546 учебника 2023-2026 (стр. 157):
Вспомните:
№546 учебника 2014-2022 (стр. 142):
Вспомните:
№546 учебника 2023-2026 (стр. 157):
а) \(-8;\ -6{,}5;\ \ldots\)
\(a_1=-8\), \(a_2=-6{,}5\)
\(d=a_2-a_1=-6{,}5-(-8)=\)
\(=-6,5+8=1{,}5\).
\(a_{23}=a_1 + 22d=-8 + 22\cdot1{,}5=\)
\(=-8 + 33=25\).
\(a_n=a_1+(n-1)d=\)
\(=-8+(n-1)\cdot1{,}5=\)
\(=8 + 1,5n - 1,5=1{,}5n-9{,}5\).
б) \(11;\ 7;\ \ldots\)
\(a_1=11\), \(a_2=7\)
\(d=7-11=-4\)
\(a_{23}=a_1 + 22d =11 + 22\cdot(-4)=\)
\(=11 - 88=-77\).
\(a_n=11+(n-1)(-4)=\)
\(=11 - 4n + 4=15-4n\).
Пояснения:
Арифметическая прогрессия — это последовательность, в которой каждый следующий член отличается от предыдущего на одно и то же число \(d\), называемое разностью.
Если известны два первых члена, разность находится как разность второго и первого члена:
\[d=a_2-a_1.\]
После этого используется формула \(n\)-го члена:
\[a_n=a_1+(n-1)d.\]
Подставляя значение \(n=23\), можно найти двадцать третий член прогрессии, а оставляя \(n\) произвольным — получить общий вид \(n\)-го члена.
№546 учебника 2014-2022 (стр. 142):
Пусть \(x\) ч — время наполнения бассейна первой трубой (\(x > 0\)), \(y\) ч — время наполнения бассейна второй трубой (\(y > 0\)).
По условию: \(x = 1,5y\).
Производительность первой трубы равна \(\dfrac{1}{x}\), а второй — \(\dfrac{1}{y}\).
По условию сначала 2 ч работает только первая труба, затем 4 ч работают обе трубы:
\(\dfrac{2}{x}+4\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)=1\)
Составим систему уравнений:
\(\begin{cases} x = 1,5y,\\ \dfrac{2}{x}+4\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)=1 \end{cases}\)
\(\begin{cases} x = 1,5y,\\ \dfrac{2}{x}+\dfrac{4}{x}+\dfrac{4}{y}=1 \end{cases}\)
\(\begin{cases} x = 1,5y,\\ \dfrac{6}{x}+\dfrac{4}{y}=1 \end{cases}\)
\(\begin{cases} x = 1,5y,\\ \dfrac{6}{1,5y}+\dfrac{4}{y}=1 \end{cases}\)
\(\dfrac{6}{1,5y}+\dfrac{4}{y}=1\) \(/\times1,5y\)
\(6 + 4\cdot1,5 = 1,5y\)
\(6 + 6 = 1,5y\)
\(12 = 1,5y\)
\(y = \frac{12}{1,5}\)
\(y = \frac{120}{15}\)
\(y = 8\)
\(x = 1,5 \cdot 8 = 12\).
Ответ: первая труба — за 12 ч, вторая труба — за 8 ч.
Пояснения:
Вводим две переменные \(x\) ч и \(y\) ч — время заполнения бассейна каждой трубой по отдельности. Тогда \(\dfrac{1}{x}\) и \(\dfrac{1}{y}\) — части бассейна, заполняемые за 1 час.
Условие «вторая труба в 1,5 раза быстрее» означает, что при большей скорости время меньше в 1,5 раза: \(x = 1,5y\).
Далее важно учесть порядок работы. Первые 2 часа заполняет только первая труба: это \(\dfrac{2}{x}\) бассейна. Затем 4 часа работают обе, значит за 1 час они вместе заполняют \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\), а за 4 часа — \(4\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)\). Сумма заполненных частей равна 1 (весь бассейн).
Из двух уравнений составляем систему, которую решаем методом подстановки. В первом уравнении переменная \(x\) выражена через переменную \(y\), подставляем во второе уравнение и после преобразований получаем линейное уравнение относительно \(y\). Находим \(y\) и соответствующее значение \(x\), тем самым определяя время работы наполнения бассейна через каждую трубу.
Вернуться к содержанию учебника