Упражнение 553 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\((a_n)\) - арифметическая прогрессия.

\(a_1=5,\quad a_9=1\)

\(a_n = a_1 + (n - 1)d\)

\(a_9 = a_1 + 8d\)

\(1 = 5 + 8d\)

\(8d = 1 - 5\)

\(8d = -4\)

\(d = -\frac{4}{8}\)

\(d = -0,5\)

\(a_2 = a_1 + d = 5 + (-0,5) = 4,5\).

\(a_3 = a_2 + d = 4,5 + (-0,5) = 4\).

\(a_4 = a_3 + d = 4 + (-0,5) = 3,5\).

\(a_5 = a_4 + d = 3,5 + (-0,5) = 3\).

\(a_6 = a_5 + d = 3 + (-0,5) = 2,5\).

\(a_7 = a_6 + d = 2,5 + (-0,5) = 2\).

\(a_8 = a_5 + d = 2 + (-0,5) = 1,5\).

\(a_9 = a_8 + d = 1,5 + (-0,5) = 1\).

Ответ:

\(5;\ 4{,}5;\ 4;\ 3{,}5;\ 3;\ 2{,}5;\ 2;\ 1{,}5;\ 1\).

Пояснения:

Если между двумя числами нужно вставить несколько чисел так, чтобы получилась арифметическая прогрессия, то сначала определяется общее количество членов прогрессии. В данной задаче два числа уже даны и требуется вставить 7 чисел, значит всего будет 9 членов.

Общий вид \(n\)-го члена арифметической прогрессии задаётся формулой:

\[a_n=a_1+(n-1)d.\]

Подставляя \(a_1=5\), \(a_9=1\) и \(n=9\), и, решив уравнение, получаем \(d=-0{,}5\). Это означает, что каждый следующий член на 0,5 меньше предыдущего.

Чтобы найти пропущенные члены арифметической прогрессии, используем формулу:

\(a_{n + 1} = a_n + d\).

а) \(x^2+y^2-4x-8y\le 0\)

\(x^2-4x+y^2-8y\le 0\)

\((x^2-4x+4)-4+(y^2-8y+16)-16\le 0\)

\((x-2)^2+(y-4)^2 -20\le 0\)

\((x-2)^2+(y-4)^2\le 20\)

\((x-2)^2+(y-4)^2= 20\) - окружность с центром \((2,4)\) и радиусом \(\sqrt{20}\approx 4,5\).

б) \(x^2-6x+y+4>0\)

\(y>-x^2+6x-4\)

\(y=-x^2+6x-4\) - парабола.

1. \(a = -1 > 0\) - ветви параболы направлены вниз.

2. \(x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2\cdot(-1)} = \frac62 = 3\).

\(y_0 =-3^2+6\cdot3-4 =\)

\(=-9 + 18 - 4 = 5\).

\((3; 5)\) - вершина параболы.

3. \(x = 3\) - ось симметрии параболы.

4. Нули функции:

\(-x^2+6x-4=0\)   \(/\times(-1)\)

\(x^2-6x+4=0\)

\(D = (-6)^2 - 4\cdot1\cdot4 =\)

\(=36 - 16 = 20 > 0\) - два корня.

\(\sqrt {20} \approx 4,5\).

\(x _1 =\frac{6 + 4,5}{2\cdot1} = \frac{10,5}{2} = 5,25\).

\(x _2 =\frac{6 - 4,5}{2\cdot1} = \frac{1,5}{2} = 0,75\).

5. \((0; -4)\) - точка пересечения с осью \(y\).

\(M(3; 2)\) - не является решением неравенства.

\(2>-3^2+6\cdot3-4\)

\(2> -9 + 18 - 4\)

\(2 > 5\) - неверно.

Пояснения:

Правила и приёмы:

1) Квадрат разности двух выражений:

\(a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2\).

2) Окружность (круг) задаётся формулой:

\[(x-a)^2+(y-b)^2\le r^2.\]

Если знак \(\le\), то это круг (внутренность) вместе с границей.

3) Графиком уравнения

\(y = ax^2 + bx + c\) является парабола.

3) Построение границы: если неравенство нестрогое (\(\ge\) или \(\le\)), то линия, соответствующая графику уравнения, входит в решение (рисуем график сплошной линией). Если неравенство строгое (\(>\) или \(<\)), то прямая не входит в решение (её рисуют пунктиром).

4) Определение нужной части плоскости: выбирают точку и проверяют, удовлетворяет ли она неравенству. Если да — закрашивают часть плоскости, где лежит эта точка, если нет — противоположную.