Упражнение 538 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(x^2+x-42\le 0\)

\(y = x^2+x-42\le 0\) - парабола, ветви которой направлены вверх.

\(x^2+x-42=0\)

\(D=1^2-4\cdot1\cdot(-42)=\)

\(=1+168=169 > 0\) - два корня.

\(\sqrt{169}=13\)

\(x_1=\dfrac{-1+13}{2\cdot1}= \dfrac{12}{2}=6,\)

\(x_2=\dfrac{-1-13}{2} = -\dfrac{14}{2}=-7\).

Ответ: \(x \in [-7; 6].\)

б) \((x+11)(x+4)(x-1)>0\)

\((x+11)(x+4)(x-1)=0\)

или \(x + 11 = 0,\, \Rightarrow x = -11\).

или \(x + 4 = 0,\, \Rightarrow x=-4\).

или \(x - 1 = 0,\, \Rightarrow x=1\).

Ответ: \(x \in (-11; 4) \cup (1; + \infty )\).

Пояснения:

а) Квадратное неравенство

\(x^2+x-42\le 0\)

решают через корни соответствующего квадратного уравнения \(x^2+x-42=0\). Находим дискриминант и корни \(x=-7\) и \(x=6\). Так как коэффициент при \(x^2\) положительный, ветви параболы направлены вверх, значит выражение \(\le 0\) на отрезке между корнями, включая сами корни. Поэтому решение \([-7,6]\).

б) Неравенство

\((x+11)(x+4)(x-1)>0\) — произведение трёх линейных множителей. Сначала находим нули произведения: \(-11\), \(-4\), \(1\). Эти точки делят ось на промежутки. На каждом промежутке знак произведения постоянен, поэтому достаточно проверить знак, подставив любое число из промежутка. Получаем, что произведение положительно на промежутках \((-11,-4)\) и \((1,+\infty)\). Так как неравенство строгое, точки \(-11\), \(-4\), \(1\) не входят.

Пусть \(x\) и \(y\) - искомые числа,

где \(x>y>0\).

Составим систему уравнений:

\(\begin{cases} x+y=5(x-y),\\ x^2-y^2=180 \end{cases}\) 

\(\begin{cases} x+y=5x-5y,\\ x^2-y^2=180 \end{cases}\) 

\(\begin{cases} x-5x=-5y - y,\\ x^2-y^2=180 \end{cases}\) 

\(\begin{cases} -4x=-6y,  / : (-4) \\ x^2-y^2=180 \end{cases}\) 

\(\begin{cases} x=\frac{6}{4}y, \\ x^2-y^2=180 \end{cases}\) 

\(\begin{cases} x=\frac{3}{2}y, \\[6pt] \left(\frac{3}{2}y\right)^2-y^2=180 \end{cases}\) 

\(\left(\frac{3}{2}y\right)^2-y^2=180\)

\(\frac{9}{4}y^2-y^2=180\)  \(/\times4\)

\(9y^2 - 4y^2 = 720\)

\(5y^2 = 720\)

\(y^2 = \frac{720}{5}\)

\(y^2 = 144\)

\(y = \pm\sqrt{144}\)

\(y= \pm12\)

\(y = -12\) - не удовлетворяет условию \(y > 0\).

Если \(y = 12\), то

\(x=\frac{3}{\cancel2}\cdot\cancel{12}  ^{\color{blue}{6}}  = 3\cdot6 = 18\).

Ответ: числа \(18\) и \(12\).

Пояснения:

Сначала вводим обозначения, так как задача текстовая. Пусть \(x\) — большее число, \(y\) — меньшее. Это позволяет правильно записать разность и сумму.

Из условия «сумма в 5 раз больше разности» составляется уравнение:

\[x+y=5(x-y).\]

Условие о разности квадратов дает уравнение:

\[x^2-y^2=180.\]

Из этих двух уравнений составляем систему.

При решении системы использовали  метод подстановки: из первого уравнения найдено соотношение между \(x\) и \(y\). Это уменьшает количество неизвестных.

После подстановки получается уравнение только с одной переменной \(y\). Так как числа положительные, берётся положительный корень.

В результате получаем два числа: \(12\) и \(18\). Они удовлетворяют обоим условиям задачи.