Упражнение 533 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(b_1=10\) и \(b_{n+1}=b_n+3\)

\(b_2=b_1+3=10+3=13\)

\(b_3=b_2+3=13+3=16\)

\(b_4=b_3+3=16+3=19\)

\(b_5=b_4+3=19+3=22\)

б) \(b_1=40\) и \(b_{n+1}=\frac{b_n}{2}\)

\(b_2=\frac{b_1}{2}=\frac{40}{2}=20\)

\(b_3=\frac{b_2}{2}=\frac{20}{2}=10\)

\(b_4=\frac{b_3}{2}=\frac{10}{2}=5\)

\(b_5=\frac{b_4}{2}=\frac{5}{2}=2,5\)

Пояснения:

В пункте а) каждый следующий член получается прибавлением одного и того же числа 3. Такая последовательность называется арифметической. Чтобы найти следующий член, к предыдущему прибавляют 3.

В пункте б) каждый следующий член получается делением предыдущего на одно и то же число 2. Чтобы найти следующий член, предыдущий делят на 2.

а) \(\begin{cases}\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{6},\\ 2x-y=5\end{cases}\)

\(\begin{cases}\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{2x-5}=\dfrac{1}{6},\\ y=2x-5\end{cases}\)

\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{2x-5}=\dfrac{1}{6}\)  \(/\times6x(2x - 5)\)

ОДЗ: \(x \ne 0\)  и  \(2x - 5 \ne 0\)

                          \(2x \ne 5\))

                           \(x \ne \frac52\)

                           \(x \ne 2,5\)

\(6(2x - 5) + 6x = x(2x - 5)\)

\(12x - 30 + 6x = 2x^2 - 5x\)

\(18x - 30 - 2x^2 + 5x = 0\)

\(-2x^2 + 23x - 30 = 0\)  \(/\times (-1)\)

\(2x^2-23x+30=0\)

\(D=(-23)^2-4\cdot2\cdot30=\)

\(=529-240=289 > 0\) - два корня.

\(\sqrt{289} = 17\).

\(x_1=\dfrac{23+17}{2\cdot2} = \dfrac{40}{4}=10\).

\(x_2=\dfrac{23-17}{2\cdot2}=\dfrac{6}{4}=\dfrac{3}{2} = 1,5\).

Если \(x = 10\), то

\(y=2\cdot10-5 = 20 - 5=15\).

Если \(x = 1,5\), то

\(y=2\cdot1,5-5 = 3 - 5=-2\)

Ответ: \((10;\,15),\; (1,5;\,-2)\).

б) \(\begin{cases}\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{20},\\ x+2y=14\end{cases}\)

\(\begin{cases}\dfrac{1}{14-2y}-\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{20},\\ x=14-2y\end{cases}\)

\(\dfrac{1}{14-2y}-\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{20}\)  \(/\times20y(14 - 2y)\)

ОДЗ: \(y \ne 0\)  и  \(14 - 2y \ne 0\)

                           \(-2y \ne -14\)

                            \(y \ne \frac{-14}{-2}\)

                            \(y \ne 7\)

\(20y - 20(14 - 2y) = y(14 - 2y)\)

\(20y - 280 + 40y = 14y - 2y^2\)

\(60y - 280 - 14y + 2y^2=0\)

\(2y^2 + 46y - 280 = 0\)  \(/ : 2\)

\(y^2 + 23y - 140 = 0\)

\(D = 23^2 - 4 \cdot1\cdot(-140) =\)

\(=529 + 560 = 1089 > 0\) - два корня.

\(\sqrt{1089} = 33\).

\(y_1=\frac{-23 + 33}{2\cdot1} = \frac{10}{2} = 5\).

\(y_2=\frac{-23 - 33}{2\cdot1} = \frac{-56}{2} = -28\).

Если \(y = 5\), то

\(x = 14 - 2\cdot5 = 14 - 10 = 4\).

Если \(y = -28\), то

\(x = 14 - 2\cdot(-28) = 14 + 56 = 70\).

Ответ: \((4;\,5), (70;\, -28)\).

в) \(\begin{cases}x+y=14,\\ \dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}=2\dfrac{1}{12}\end{cases}\)

\(\begin{cases}x=14-y,\\ \dfrac{14-y}{y}+\dfrac{y}{14-y}=\dfrac{25}{12}\end{cases}\)

\(\dfrac{14-y}{y}+\dfrac{y}{14-y}=\dfrac{25}{12}\)  \(/\times 12y(14 - y)\)

ОДЗ: \(y \ne 0\)  и  \(14 - y \ne 0\)

                          \(y \ne 14\)

\(12(14 - y)(14-y) + y\cdot12y = 25y(14 - y)\)

\(12(14-y)^2 + 12y^2 = 350y - 25y^2\)

\(12(196 - 28y + y^2) + 12y^2 = 350y - 25y^2\)

\(2352 - 336y + 12y^2 + 12y^2 - 350y + 25y^2 = 0\)

\(49y^2 -686y + 2352 = 0\)  \(/ : 49\)

\(y^2 - 14y + 48 = 0\)

\(D = (-14)^2 - 4\cdot1\cdot48 = \)

\(=196 - 192 = 4 > 0\) - два корня.

\(\sqrt4 = 2\).

\(y_1 = \frac{14 + 2}{2\cdot1} = \frac{16}{2} = 8\).

\(y_2 = \frac{14 - 2}{2\cdot1} = \frac{12}{2} = 6\).

Если \(y = 8\), то

\(x = 14 - 8 = 6\).

Если \(y = 6\), то

\(x = 14 - 6 = 8\).

Ответ: \((8;\,6),\; (6;\,8)\)

г) \(\begin{cases}x-y=2,\\ \dfrac{x}{y}-\dfrac{y}{x}=\dfrac{5}{6}\end{cases}\)

\(\begin{cases}x=y + 2,\\ \dfrac{y + 2}{y}-\dfrac{y}{y+2}=\dfrac{5}{6}\end{cases}\)

\( \dfrac{y + 2}{y}-\dfrac{y}{y+2}=\dfrac{5}{6}\)  \(/\times6y(y + 2)\)

ОДЗ: \(y = 0\)  и  \(y + 2 \ne 0\)

                         \(y \ne -2\)

\((y + 2) \cdot6(y + 2)  - y\cdot6y = 5y(y + 2)\)

\(6(y+2)^2 - 6y^2 = 5y^2 + 10y\)

\(6(y^2 + 4y + 4) - 6y^2 - 5y^2 - 10y = 0\)

\(\cancel{6y^2} + 24y + 24 - \cancel{6y^2} - 5y^2 - 10y = 0\)

\(-5y^2 + 14y + 24 = 0\)  \(/\times (-1)\)

\(5y^2 - 14y  - 24 = 0\)

\(D = (-14)^2 - 4\cdot5\cdot(-24) = \)

\(= 196 + 480 = 676 > 0 \) - два корня.

\(\sqrt{676} = 26\).

\(y_1 = \frac{14 + 26}{2\cdot5} = \frac{40}{10} = 4\).

\(y_2 = \frac{14 - 26}{2\cdot5} = -\frac{12}{10} = -1,2\).

Если \(y= 4\), то

\(x = 4 + 2 = 6\).

Если \(y= -1,2\), то

\(x = -1,2 + 2 = 0,8\).

Ответ: \((6;\,4),\; (0,8;\, -1,2)\).

Пояснения:

Правила и приёмы, которые использовались:

1) Метод подстановки: из линейного уравнения выражаем одну переменную и подставляем в другое уравнение системы.

2) Дробно рациональные уравнения сводим к целым уравнениям, домножив их на общий знаменатель дробей, входящих в уравнение, указав при этом ОДЗ (область допустимых значений переменной), тоесть исключаем те значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль.

3) Квадратное уравнение 

\(ax^2+bx+c=0\)

решаем через дискриминант:

\(D=b^2-4ac\).

Если \(D > 0 \), то уравнение имеет два корня:

\(x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}.\)

4) Квадрат разности и квадрат суммы двух выражений:

\((a \pm b)^2 = a^2 \pm2ab + b^2\).