Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№535 учебника 2023-2026 (стр. 152):
Выпишите первые четыре члена последовательности \((b_n)\), если:
а) \(b_1=5,\ b_{n+1}=b_n+5\);
б) \(b_1=5,\ b_{n+1}=b_n\cdot5\).
№535 учебника 2014-2022 (стр. 141):
Имеют ли общую точку графики уравнений \(x+y=7\), \(2x-y=2\), \(x^2+xy-y^2-y=1\)?
№535 учебника 2023-2026 (стр. 152):
Вспомните, что называют последовательностью чисел.
№535 учебника 2014-2022 (стр. 141):
Вспомните:
№535 учебника 2023-2026 (стр. 152):
а) \(b_1=5,\ b_{n+1}=b_n+5\)
\(b_2=b_1+5=5+5=10\)
\(b_3=b_2+5=10+5=15\)
\(b_4=b_3+5=15+5=20\)
б) \(b_1=5,\ b_{n+1}=b_n\cdot5\)
\(b_2=b_1\cdot5=5\cdot5=25\)
\(b_3=b_2\cdot5=25\cdot5=125\)
\(b_4=b_3\cdot5=125\cdot5=625\)
Пояснения:
Последовательности заданы рекуррентно, то есть каждый следующий член выражается через предыдущий.
№535 учебника 2014-2022 (стр. 141):
\(\begin{cases} x + y = 7,\\ 2x - y = 2,\\ x^2+xy-y^2 - y=1 \end{cases}\)
\(\begin{cases} x + y = 7,\\ 2x - y = 2 \end{cases}\) \((+)\)
\((x+y)+(2x-y)=7+2\)
\(x+\cancel{y}+2x-\cancel{y}=9\)
\(3x=9\)
\(x = \frac93\)
\(x=3\)
\(3+y=7\)
\(y = 7 - 3\)
\(y=4\)
\((3;\,4)\) - общая точка графиков первого и второго уравнений.
Проверим третье уравнение:
\(x^2+xy-y^2-y=1\)
Если \(x = 3\), \(y = 4\), то
\(3^2+3\cdot4-4^2-4 = 1\)
\(9+12-16-4 = 1\)
\(1=1\) - верно.
Ответ: графики имеют общую точку \((3;\,4)\).
Пояснения:
Чтобы узнать, имеют ли общую точки графики уравнений, нужно решить систему из этих уравнений. Если система имеет решение, то оно является их общей точкой.
Сначала способом сложения решаем систему из двух первых уравнений исходной системы, затем проверяем являются ли решения этой системы
Использованные правила и приёмы:
1) Решение системы двух линейных уравнений методом сложения.
2) Проверка точки: чтобы три графика имели общую точку, нужно, чтобы одна и та же пара \((x,y)\) удовлетворяла всем трём уравнениям.
Сначала находим точку пересечения двух прямых \(x+y=7\) и \(2x-y=2\). Складываем уравнения, чтобы убрать \(y\): остаётся \(3x=9\), откуда \(x=3\). Подставляем \(x\) в первое уравнение и получаем \(y=4\). Это единственная точка пересечения двух прямых.
Далее подставляем найденные \(x=3\) и \(y=4\) в третье уравнение
\(x^2+xy-y^2-y=1\). Левая часть становится равной \(1\), то есть равенство выполняется. Значит, эта точка лежит и на третьем графике.
Следовательно, графики всех трёх уравнений имеют общую точку \((3;\,4)\).
Вернуться к содержанию учебника