Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№534 учебника 2023-2026 (стр. 152):
Выпишите первые пять членов последовательности \((a_n)\), если:
а) \(a_1=1,\ a_{n+1}=a_n+1\);
б) \(a_1=1000,\ a_{n+1}=0{,}1a_n\);
в) \(a_1=16,\ a_{n+1}=-0{,}5a_n\);
г) \(a_1=3,\ a_{n+1}=a_n^{-1}\).
№534 учебника 2014-2022 (стр. 141):
Имеет ли решения система уравнений
\(\begin{cases} 3x-4y=-2,\\ 3x+y^2=10,\\ x^2-y^2-x+y=100? \end{cases}\)
№534 учебника 2023-2026 (стр. 152):
Вспомните:
№534 учебника 2014-2022 (стр. 141):
Вспомните:
№534 учебника 2023-2026 (стр. 152):
а) \(a_1=1,\ a_{n+1}=a_n+1\)
\(a_2=a_1+1=1+1=2\)
\(a_3=a_2+1=2+1=3\)
\(a_4=a_3+1=3+1=4\)
\(a_5=a_4+1=4+1=5\)
б) \(a_1=1000,\ a_{n+1}=0{,}1a_n\)
\(a_2=0{,}1\cdot a_1=0{,}1\cdot1000=100\)
\(a_3=0{,}1\cdot a_2=0{,}1\cdot100=10\)
\(a_4=0{,}1\cdot a_3=0{,}1\cdot10=1\)
\(a_5=0{,}1\cdot a_4=0{,}1\cdot1=0{,}1\)
в) \(a_1=16,\ a_{n+1}=-0{,}5a_n\)
\(a_2=-0{,}5a_1=-0{,}5\cdot16=-8\)
\(a_3=-0{,}5a_2=-0{,}5\cdot(-8)=4\)
\(a_4=-0{,}5a_3=-0{,}5\cdot4=-2\)
\(a_5 =-0{,}5a_4=-0{,}5\cdot(-2)=1\)
г) \(a_1=3,\ a_{n+1}=a_n^{-1}\)
\(a_2=a_1^{-1}=3^{-1}=\dfrac{1}{3}\)
\(a_3=a_2^{-1}=\left(\frac{1}{3}\right)^{-1} = 3\)
\(a_4=a_3^{-1}=3^{-1}=\dfrac{1}{3}\)
\(a_5=a_4^{-1}=\left(\frac{1}{3}\right)^{-1}=3\)
Пояснения:
Последовательность задана рекуррентной формулой, то есть каждый следующий член выражается через предыдущий.
№534 учебника 2014-2022 (стр. 141):
\(\begin{cases} 3x-4y=-2,\\ 3x+y^2=10,\\ x^2-y^2-x+y=100 \end{cases}\)
\(\begin{cases} 3x-4y=-2,\\ 3x+y^2=10 \end{cases}\) \((-)\)
\((3x - 4y) - (3x + y^2) = -2 - 10\)
\(\cancel{3x} - 4y - \cancel{3x} - y^2 = -12\)
\(-4y - y^2 + 12 = 0\) \(/\times(-1)\)
\(y^2 + 4y - 12 = 0\)
\(D = 4^2 - 4\cdot1\cdot(-12) = \)
\(= 16 + 48 = 64 > 0\) - два корня.
\(\sqrt{64} = 8\).
\(y_1 = \frac{-4 + 8}{2\cdot1} = \frac{4}{2} = 2\).
\(y_2 = \frac{-4 - 8}{2\cdot1} = \frac{-12}{2} = -6\).
1) Если \(y=2\), то
\(3x - 4\cdot2 = -2\)
\(3x - 8 = -2\)
\(3x = -2 + 8\)
\(3x = 6\)
\(x = \frac63\)
\(x = 2\)
2) Если \(y=-6\), то
\(3x - 4\cdot(-6) = -2\)
\(3x + 24 = -2\)
\(3x = -2 -24\)
\(3x = -26\)
\(x = \frac{-26}{3}\)
\(x = -8\frac23\)
\((2;\, 2)\) и \(\left(-8\frac23;\, -6\right)\) - решения первого и второго уравнения.
Проверим третье уравнение:
\(x^2-y^2-x+y=100\)
Если \(x = 2\), \(y = 2\), то
\(2^2-2^2-2+2=100\)
\(4 - 4 - 2 + 2 = 100\)
\(0 = 100\) - неверно.
\((2;\, 2)\) - не является решением третьего уравнения.
Если \(x = -8\frac23\), \(y = -6\), то
\(\left(-8\frac23\right)^2-(-6)^2-\left(-8\frac23\right)+(-6)=100\)
\(\left(\frac{26}{3}\right)^2-36+\frac{26}{3}-6=100\)
\(\frac{676}{9}+\frac{26}{3} ^{\color{blue}{\backslash3}} -42 ^{\color{blue}{\backslash9}} =100\)
\(\frac{676}{9}+\frac{78}{9}-\frac{378}{9}=100\)
\(\frac{376}{9}=100\) - неверно.
\(\left(-8\frac23;\, -6\right)\) - не является решением третьего уравнения.
Ответ: система решений не имеет.
Пояснения:
Решением системы уравнений с двумя переменными называют пару значений переменных, обращающую каждое уравнение в верное равенство.
Сначала способом вычитания (сложения) решаем систему из двух первых уравнений исходной системы, затем проверяем являются ли решения этой системы решениями третьего уравнения исходной системы.
Использованные правила и приёмы:
Квадратное уравнение
\(ay^2+by+c=0\)
решаем через дискриминант
\(D=b^2-4ac.\)
Если \(D > 0\), то уравнение имеет 2 корня:
\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\).
В данной задаче первые два уравнения образуют систему из линейного и квадратного уравнений. Она имеет два решения. Однако система содержит третье уравнение, которое накладывает дополнительное ограничение. Подстановка найденных пар \((x,y)\) показывает, что ни одна из них не удовлетворяет третьему уравнению.
Следовательно, данная система уравнений не имеет решений.
Вернуться к содержанию учебника