Упражнение 539 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(81\cdot3^{-6} =3^4\cdot3^{-6}=3^{4-6}=\)

\(=3^{-2}=\dfrac{1}{3^2}=\dfrac{1}{9}\).

б) \(\dfrac{(-3^{-3})^3}{-9^{-2}}=\dfrac{-3^{-9}}{-(3^2)^{-4}}=\dfrac{-3^{-9}}{-3^{-4}}=\)

\(=3^{-9-(-4)}=3^{-9 + 4}=3^{-5}=\)

\(=\dfrac{1}{3^5}=\dfrac{1}{243}\).

в) \(9^{-5}\cdot\left(\dfrac{1}{9}\right)^{-3}=9^{-5}\cdot9^3=\)

\(=9^{-5+3} = 9^{-2} = (3^2)^{-2} = 3^{-4} =\)

\(=\dfrac{1}{3^4}=\dfrac{1}{81}\).

г) \((-3^{-3})^2\cdot27^3=3^{-6}\cdot(3^3)^3=\)

\(=3^{-6}\cdot3^9=3^{-6+9}=3^3=27\).

Пояснения:

Использованные свойства степеней:

\(a^m\cdot a^n=a^{m+n}\)

\(\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\)

\((a^m)^n=a^{mn}\)

\(a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}\)

Во всех заданиях числа \(9,\ 27,\ 81\) были представлены как степени числа \(3\). После этого выражения упрощались с помощью свойств степеней, и находилось их числовое значение.

Пусть \(x\) и \(y\) - искомые числа.

Составим систему уравнений:

\(\begin{cases} xy=15(x+y),\\ x + 2y=100 \end{cases}\) 

\(\begin{cases} (100-2y)y=15(100 - 2y+y),\\ x =100 - 2y \end{cases}\) 

\((100-2y)y=15(100 - 2y+y)\)

\(100y - 2y^2 = 15(100 - y)\)

\(100y - 2y^2 = 1500 - 15y\)

\(100y - 2y^2 - 1500 + 15y = 0\)

\(2y^2-115y+1500=0\)

\(D=115^2-4\cdot2\cdot1500=\)

\(=13225-12000=1225 > 0\) - два корня.

\(\sqrt{1225}=35\)

\(y_1=\dfrac{115+35}{4} = \dfrac{150}{4}=37{,}5\).

\(y_2=\dfrac{115-35}{4} = \dfrac{80}{4}=20\).

Если \(y = 37,5\), то

\(x=100-2\cdot37{,}5 = 100 - 75 =25\).

Если \(y=20\), то

\(x=100-2\cdot20 = 100 - 40=60\).

Ответ: \(25\) и \(37{,}5\) или \(60\) и \(20\).

Пояснения:

Введём обозначения, так как задача текстовая: \(x\) — первое число, \(y\) — второе число. Это позволяет записать условия задачи в виде уравнений.

Фраза «произведение двух чисел в 15 раз больше их суммы» означает равенство:

\[xy=15(x+y).\]

Второе условие «к первому числу прибавить удвоенное второе» переводится в уравнение:

\[x+2y=100.\]

Из этих двух уравнений составили систему.

При решении системы использовали метод подстановки. Из линейного уравнения удобно выразить одну переменную и подставить в другое уравнение. После подстановки получается квадратное уравнение относительно \(y\):

\(ay^2 + by + c = 0\),

которое решается с помощью дискриминанта \(D = b^2 - 4ac\).

Если \(D> 0\), то уравнение имеет два корня:

\(y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\).

Каждое найденное значение \(y\) подставляется обратно в формулу \(x=100-2y\). В результате получаем две пары чисел, обе удовлетворяют условиям задачи.