Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№537 учебника 2023-2026 (стр. 152):
Решите уравнение:
а) \(4x^4+4x^2-15=0\);
б) \(2x^4-x^2-36=0\).
№537 учебника 2014-2022 (стр. 141):
Если умножить квадратный трёхчлен \(ax^2-2x+b\) на квадратный трёхчлен \(x^2+ax-1\), то получится многочлен четвёртой степени, в котором коэффициенты при \(x^2\) и \(x\) соответственно равны \(8\) и \(-2\). Найдите \(a\) и \(b\).
№537 учебника 2023-2026 (стр. 152):
Вспомните:
№537 учебника 2014-2022 (стр. 141):
Вспомните:
№537 учебника 2023-2026 (стр. 152):
а) \(4x^4+4x^2-15=0\)
Пусть \(x^2=t \ge 0\).
\(4t^2+4t-15=0\)
\(D=4^2-4\cdot4\cdot(-15)=\)
\(=16+240=256 > 0 \) - два корня.
\(\sqrt{D}=16\).
\(t_1=\dfrac{-4+16}{2\cdot4}= \dfrac{12}{8}= \dfrac{3}{2} = 1,5,\)
\(t_2=\dfrac{-4-16}{2\cdot4} =-\dfrac{20}{8} =-\dfrac{5}{2} < 0\) - не удовлетворяет условию.
Если \(t = 1,5\), то
\(x^2=1,5\)
\(x=\pm\sqrt{1,5}\)
Ответ: \(x=\pm\sqrt{1,5}\).
б) \(2x^4-x^2-36=0\)
Пусть \(x^2=t > 0\).
\(2t^2-t-36=0\)
\(D=(-1)^2-4\cdot2\cdot(-36) =\)
\(=1+288=289 > 0\) - два корня.
\(\sqrt{D}=17\).
\(t_1=\dfrac{1+17}{2\cdot2}=\dfrac{18}{4}=\dfrac{9}{2} = 4,5,\)
\( t_2=\dfrac{1-17}{2\cdot2}=-\dfrac{16}{4}=-4 < 0\) - не удовлетворяет условию.
Если \(t = 4,5\), то
\(x^2=4,5\)
\(x=\pm\sqrt{4,5}\)
Ответ: \(x=\pm\sqrt{4,5}\).
Пояснения:
В обоих уравнениях переменная входит только в чётных степенях (биквадратное уравнение), поэтому удобно сделать замену \(x^2=t\). Это позволяет свести уравнение четвёртой степени к квадратному уравнению.
Квадратное уравнение
\(ax^2 + bx + c = 0\)
решаем через дискриминант
\(D = b^2 - 4ac\).
Если \(D > 0\), то уравнение имеет два корня:
\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\).
После нахождения значений \(t\) учитывается, что \(t=x^2\ge0\). Отрицательные значения \(t\) не дают действительных решений и отбрасываются. Для положительных значений \(t\) находим соответствующие значения \(x\), учитывая то, что их \(x^2 = a\) имеем \(x = \pm\sqrt a\).
№537 учебника 2014-2022 (стр. 141):
\((ax^2-2x+b)(x^2+ax-1)=\)
\(=ax^2\cdot x^2+ax^2\cdot ax+ax^2\cdot(-1)+(-2x)\cdot x^2+(-2x)\cdot ax+(-2x)\cdot(-1)+b\cdot x^2+b\cdot ax+b\cdot(-1)=\)
\(=ax^4+a^2x^3-ax^2-2x^3-2ax^2+2x+bx^2+abx-b=\)
\(=ax^4+(a^2-2)x^3+(b-3a)x^2+(ab+2)x-b\)
\(\begin{cases} b-3a=8,\\ ab+2=-2 \end{cases}\)
\(\begin{cases} b=8 + 3a,\\ ab=-2-2 \end{cases}\)
\(\begin{cases} b=8 + 3a,\\ a(8 + 3a)=-4 \end{cases}\)
\(a(8+3a)=-4\)
\(8a+3a^2+4=0\)
\(3a^2+8a+4=0\)
\(D=8^2-4\cdot3\cdot4=\)
\(=64-48=16>0\) - два корня.
\(a_1=\dfrac{-8+4}{2\cdot3}=\frac{-4}{6}=-\dfrac{2}{3}\).
\(a_2=\dfrac{-8-4}{2\cdot3}=\frac{-12}{6}=-2\).
Если \(a=-\dfrac{2}{3}\), то
\(b=8+3\cdot\left(-\dfrac{2}{3}\right) = 8 - 2=6\).
Если \(a=-2\), то
\(b=8+3\cdot(-2) = 8 - 6=2\).
Ответ: \(a =-2\), \(b = 2\) или \(a = -\dfrac{2}{3}\), \(b = 6\).
Пояснения:
Использованные правила:
1) Раскрытие скобок (распределительный закон): каждое слагаемое первой скобки умножаем на каждое слагаемое второй скобки.
2) Приведение подобных членов: слагаемые с одинаковой степенью \(x\) складываются отдельно.
3) Решение квадратного уравнения
\(Ax^2+Bx+C=0\)
по дискриминанту:
\( D=B^2-4AC\).
Если \(D > 0\), то
\(x=\dfrac{-B\pm\sqrt{D}}{2A}.\)
Сначала перемножаем два трёхчлена, получая сумму всех попарных произведений. Затем группируем слагаемые по степеням \(x\). Так мы явно видим коэффициенты при \(x^2\) и при \(x\): это соответственно \(b-3a\) и \(ab+2\).
По условию задачи эти коэффициенты равны \(8\) и \(-2\), поэтому составляем систему:
\[\begin{cases}b-3a=8,\\ ab+2=-2.\end{cases}\]
Из первого уравнения выражаем \(b\) через \(a\) и подставляем во второе. Получается квадратное уравнение относительно \(a\), у которого два корня. Для каждого найденного \(a\) вычисляем \(b\) по формуле \(b=8+3a\). Поэтому получаем две пары \((a,b)\).
Вернуться к содержанию учебника