Упражнение 532 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\(a_n=n^2-n-20\)

\(a_n < 0\)

\(n^2-n-20<0\)

\(y = n^2-n-20\) - парабола, ветви вверх.

\(n^2-n-20=0\)

\(D=(-1)^2-4\cdot1\cdot(-20)=\)

\(=1+80=81 > 0\) - два корня.

\(\sqrt{D}=9\).

\(n_1=\dfrac{1-9}{2}=-4,\)

\(n_2=\dfrac{1+9}{2}=5.\)

\(n \in (-4; 5)\) и \(n \in N\), тогда

\(n=1,\ 2,\ 3,\ 4\)

\(a_1=1^2-1-20=-20\)

\(a_2=2^2-2-20=-18\)

\(a_3=3^2-3-20=-14\)

\(a_4=4^2-4-20=-8\)

Пояснения:

Чтобы найти отрицательные члены последовательности, нужно определить, при каких значениях номера \(n\) выполняется неравенство \(a_n<0\).

В данном случае это квадратное неравенство \(n^2-n-20<0\). Сначала находятся корни соответствующего квадратного уравнения \(n^2-n-20=0\). Они равны \(-4\) и \(5\).

Так как ветви параболы направлены вверх, выражение отрицательно между корнями. Но номер члена последовательности — натуральное число, поэтому берутся только значения \(n=1,2,3,4\).

Подставляя эти номера в формулу \(a_n=n^2-n-20\), получаем отрицательные члены последовательности: \(-20,\ -18,\ -14,\ -8\).

а) \(\begin{cases} (x+y)(x-y)=0,\\ 2x-y=1 \end{cases}\)

\((x+y)(x-y)=0\)

\(x+y=0\) или \(x-y=0\)

1) \(\begin{cases} x+y=0,\\ 2x-y=1 \end{cases}\)  \((+)\)

\((x + 2x) + (y-y) = 0 +1\)

\(3x=1\)

\(x=\dfrac{1}{3}\).

\(y=-\dfrac{1}{3}\).

2) \(\begin{cases} x-y=0    /\times(-1),\\ 2x-y=1 \end{cases}\)

\(\begin{cases} -x+y=0 ,\\ 2x-y=1 \end{cases}\)  \((+)\)

\((-x + 2x) + (y - y) = 0 + 1\)

\(x = 1\).

\(y = 1\).

Ответ: \(\left(\dfrac{1}{3};\,-\dfrac{1}{3}\right),\ (1;\,1)\)

б) \(\begin{cases} x^2+y^2=100,\\ (x-7y)(x+7y)=0; \end{cases}\)

\((x-7y)(x+7y)=0\)

\(x-7y=0\) или \(x+7y=0\)

1) \(\begin{cases} x-7y=0,\\x^2+y^2=100  \end{cases}\)

\(\begin{cases} x=7y,\\(7y)^2+y^2=100  \end{cases}\)

\((7y)^2+y^2=100\)

\(49y^2+y^2=100\)

\(50y^2=100\)

\(y^2 = \frac{100}{50}\)

\(y^2=2\)

\(y=\pm\sqrt{2}\)

Если \(y = \sqrt2\), то

\(x=7\cdot\sqrt{2}=7\sqrt{2}\).

Если \(y = -\sqrt2\), то

\(x=7\cdot(-\sqrt{2})=-7\sqrt{2}\).

2) \(\begin{cases} x+7y=0,\\x^2+y^2=100  \end{cases}\)

\(\begin{cases} x=-7y,\\(-7y)^2+y^2=100  \end{cases}\)

\((-7y)^2+y^2=100\)

\(49y^2+y^2=100\)

\(50y^2=100\)

\(y^2 = \frac{100}{50}\)

\(y^2=2\)

\(y=\pm\sqrt{2}\)

Если \(y = \sqrt2\), то

\(x=-7\cdot\sqrt{2}=-7\sqrt{2}\).

Если \(y = -\sqrt2\), то

\(x=-7\cdot(-\sqrt{2})=7\sqrt{2}\).

Ответ: \(\left(7\sqrt{2};\,\sqrt{2}\right),\left(-7\sqrt{2};\,-\sqrt{2}\right),\)

\(\left(-7\sqrt{2};\,\sqrt{2}\right),\left(7\sqrt{2};\,-\sqrt{2}\right).\)

в) \(\begin{cases} x^2+y^2=25,\\ (x-3)(y-5)=0; \end{cases}\)

\((x-3)(y-5)=0\)

\(x-3=0\) или \(y-5=0\)

1) \(\begin{cases} x - 3 = 0,\\ x^2+y^2=25 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x = 3 ,\\ 3^2+y^2=25 \end{cases}\)

\(3^2+y^2=25\)

\(9+y^2=25\)

\(y^2=16\)

\(y = \pm\sqrt{16}\)

\(y = \pm4\)

2) \(\begin{cases} y - 5 = 0,\\ x^2+y^2=25 \end{cases}\)

\(\begin{cases} y = 5 ,\\ x^2+5^2=25 \end{cases}\)

\(x^2+5^2=25\)

\(x^2+25=25\)

\(x^2=0\)

\(x=0\)

Ответ: \((3;\,4),\ (3;\,-4),\ (0;\,5)\).

г) \(\begin{cases} x^2-y^2=50,\\ x(y+1)=0. \end{cases}\)

\(x(y+1)=0\)

\(x=0\) или \(y+1=0\)

1) \(\begin{cases} x = 0,\\x^2-y^2=50 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x = 0,\\0^2-y^2=50 \end{cases}\)

\(0^2-y^2=50\)

\(-y^2=50\)  \(/\times(-1)\)

\(y^2 = -50\) - решений нет.

2) \(\begin{cases} y + 1 = 0,\\x^2-y^2=50 \end{cases}\)

\(\begin{cases} y = -1,\\x^2-(-1)^2=50 \end{cases}\)\)

\(x^2-(-1)^2=50\)

\(x^2-1=50\)

\(x^2=50 + 1\)

\(x^2=51\)

\(x=\pm\sqrt{51}\)

Ответ: \((\sqrt{51};\,-1),\ (-\sqrt{51};\,-1)\).

Пояснения:

Использованные правила и приёмы:

1) Свойство умножения:

\[AB=0 \Rightarrow A=0 \text{ или } B=0.\]

2) Решение уравнений вида \(x^2=a\):

если \( a>0\), то \( x=\pm\sqrt{a};\)

если \( a<0\), то действительных решений нет.

3) Свойство степени:

\((ab)^n = a^nb^n\).

а) Первое уравнение уже разложено на множители. По правилу нулевого множителя получаем два случая:

\(x+y=0\) и \(x-y=0\). Получаем две системы уравнений, каждую из которых решаем методом сложения, и находим два решения системы.

б) Во втором уравнении произведение равно нулю, значит либо \(x=7y\), либо \(x=-7y\). В каждом случае подставляем в уравнение окружности \(x^2+y^2=100\) и находим \(y^2\), затем \(y\) и \(x\). Для каждого знака \(y\) получаем свою точку, поэтому решений четыре.

в) Уравнение \((x-3)(y-5)=0\) означает, что точка пересечения окружности \(x^2+y^2=25\) лежит либо на прямой \(x=3\), либо на прямой \(y=5\). Подстановка даёт: при \(x=3\) два значения \(y\), а при \(y=5\) только \(x=0\), всего три решения.

г) Из \(x(y+1)=0\) получаем два случая. При \(x=0\) первое уравнение превращается в \(-y^2=50\), что невозможно для действительных \(y\). При \(y=-1\) получаем \(x^2=51\), откуда два значения \(x\). Поэтому система имеет два решения.