Упражнение 530 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(x_n=2n-1\)

\(x_1=2\cdot1-1=1\)

\(x_2=2\cdot2-1=3\)

\(x_3=2\cdot3-1=5\)

\(x_4=2\cdot4-1=7\)

\(x_5=2\cdot5-1=9\)

\(x_6=2\cdot6-1=11\)

б) \(x_n=n^2+1\)

\(x_1=1^2+1=2\)

\(x_2=2^2+1=5\)

\(x_3=3^2+1=10\)

\(x_4=4^2+1=17\)

\(x_5=5^2+1=26\)

\(x_6=6^2+1=37\)

в) \(x_n=\dfrac{n}{n+1}\)

\(x_1=\dfrac{1}{1+1} =\dfrac{1}{2} \)

\(x_2=\dfrac{2}{2 + 1}=\dfrac{2}{3}\)

\(x_3=\dfrac{3}{3 + 1}=\dfrac{3}{4}\)

\(x_4=\dfrac{4}{4 + 1}=\dfrac{4}{5}\)

\(x_5=\dfrac{5}{5+1}=\dfrac{5}{6}\)

\(x_6=\dfrac{6}{6+1}=\dfrac{6}{7}\)

г) \(x_n=(-1)^{n+1}\cdot2\)

\(x_1=(-1)^{1+1}\cdot2=(-1)^2\cdot2=2\)

\(x_2=(-1)^{2+1}\cdot2=(-1)^3\cdot2=-2\)

\(x_3=(-1)^{3+1}\cdot2=(-1)^4\cdot2=2\)

\(x_4=(-1)^{4+1}\cdot2=(-1)^5\cdot2=-2\)

\(x_5=(-1)^{5+1}\cdot2=(-1)^6\cdot2=2\)

\(x_6=(-1)^{6+1}\cdot2=(-1)^7\cdot2=-2\)

д) \(x_n=2^{\,n-3}\)

\(x_1=2^{1-3}=2^{-2}=\dfrac{1}{4}\)

\(x_2=2^{2-3}=2^{-1}=\dfrac{1}{2}\)

\(x_3=2^{3-3}=2^0=1\)

\(x_4=2^{4-3}=2^1=2\)

\(x_5=2^{5-3}=2^2=4\)

\(x_6=2^{6-3}=2^3=8\)

е) \(x_n=0{,}5\cdot4^n\).

\(x_1=0{,}5\cdot4^1=0{,}5\cdot4=2\)

\(x_2=0{,}5\cdot4^2=0{,}5\cdot16=8\)

\(x_3=0{,}5\cdot4^3=0{,}5\cdot64=32\)

\(x_4=0{,}5\cdot4^4=0{,}5\cdot256=128\)

\(x_5=0{,}5\cdot4^5=0{,}5\cdot1024=512\)

\(x_6=0{,}5\cdot4^6=0{,}5\cdot4096=2048\)

Пояснения:

Последовательность задана формулой \(x_n\), поэтому для нахождения первых членов нужно последовательно подставить значения \(n=1,2,3,4,5,6\) в формулу.

а) Формула \(x_n=2n-1\) задаёт последовательность нечётных чисел.

б) Формула \(x_n=n^2+1\) получается из квадратов натуральных чисел, увеличенных на 1.

в) Формула \(x_n=\dfrac{n}{n+1}\) даёт дроби, у которых числитель на 1 меньше знаменателя.

г) В формуле \(x_n=(-1)^{n+1}\cdot2\) степень числа \(-1\) определяет знак члена, поэтому значения чередуются: \(2,-2,2,-2,\ldots\).

д) Формула \(x_n=2^{n-3}\) — это степенная последовательность, начинающаяся с отрицательных показателей.

е) Формула \(x_n=0{,}5\cdot4^n\) задаёт быстро возрастающую степенную последовательность, так как при каждом увеличении \(n\) значение умножается на 4.

а) \(\begin{cases} x^2+3x-4y=20,\\ x^2-2x+y=-5   /\times4\end{cases}\)

\(\begin{cases} x^2+3x-4y=20,\\ 4x^2-8x+4y=-20 \end{cases}\)  \((+)\)

\(5x^2-5x=0\)

\(5x(x - 1)=0\)

\(x = 0\)   или   \(x - 1 = 0\)

                       \(x = 1\)

Если \(x = 0\), то

\(0^2-2\cdot0+y=-5 \)

\(y = - 5\).

Если \(x = 1\), то

\(1^2-2\cdot1+y=-5 \)

\(1 - 2 + y = -5\)

\(-1 + y = -5\)

\(y = -5 + 1\)

\(y = - 4\)

Ответ: \((0;\,-5),\; (1;\,-4)\).

б) \(\begin{cases} y^2+3x-y=1,   /\times(-2)\\ y^2+6x-2y=1 \end{cases}\)

\(\begin{cases} -2y^2-6x+2y=-2, \\ y^2+6x-2y=1 \end{cases}\)   \((+)\)

\(-y^2 = -1\)

\(y^2 = 1\)

\(y = \pm\sqrt1\)

\(y = \pm1\)

1) Если \(y = 1\), то

\(1^2+3x-1=1\)

\(1 + 3x -1 = 1\)

\(3x = 1\)

\(x =\frac13\)

2) Если \(y = -1\), то

\((-1)^2+3x+1=1\)

\(1 + 3x +1 = 1\)

\(3x + 2 = 1\)

\(3x = 1-2\)

\(3x =-1\)

\(x =-\frac13\)

Ответ: \(\left(\dfrac{1}{3};\,1\right),\; \left(-\dfrac{1}{3};\,-1\right)\).

Пояснения:

При решении каждой системы используем метод сложения:

1) подобрав "выгодные" множители (если это необходимо), преобразовать одно или оба уравнения системы так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами;

2) сложить почленно левые и правые части уравнений, полученных на первом шаге;

3) решить уравнение с одной переменной, полученное на втором шаге;

4) подставить найденное на третьем шаге значение переменной в любое из уравнений исходной системы;

5) вычислить значение другой переменной.