Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№531 учебника 2023-2026 (стр. 152):
Последовательность \((b_n)\) задана формулой \(b_n=2n^2+3n\). Найдите:
а) \(b_5\);
б) \(b_{10}\);
в) \(b_{50}\).
№531 учебника 2014-2022 (стр. 140):
Решите систему уравнений:
а) \(\begin{cases} x+y+xy=5,\\ xy+x-y=13; \end{cases}\)
б) \(\begin{cases} x+xy+y=10,\\ xy-2x-2y=2. \end{cases}\)
№531 учебника 2023-2026 (стр. 152):
Вспомните:
№531 учебника 2014-2022 (стр. 140):
Вспомните:
№531 учебника 2023-2026 (стр. 152):
\(b_n=2n^2+3n\)
а) \(b_5=2\cdot5^2+3\cdot5=\)
\(=2\cdot25+15=50+15=65.\)
б) \(b_{10}=2\cdot10^2+3\cdot10=\)
\(=2\cdot100+30=200+30=230.\)
в) \(b_{50}=2\cdot50^2+3\cdot50\)
\(=2\cdot2500+150=\)
\(=5000+150=5150.\)
Пояснения:
Последовательность задана формулой \(b_n=2n^2+3n\), то есть значение каждого члена зависит от номера \(n\).
Чтобы найти конкретный член последовательности, нужно подставить соответствующее значение номера \(n\) в формулу и выполнить вычисления.
Вычисления выполняются по порядку действий: сначала возведение в квадрат, затем умножение, после этого сложение.
№531 учебника 2014-2022 (стр. 140):
а) \(\begin{cases} x+y+xy=5,\\ xy+x-y=13 \end{cases}\) \((-)\)
\((xy+x-y)-(xy+x+y)=13-5\)
\(xy+x-y-xy-x-y=8\)
\(-2y=8\)
\(y = -\frac82\)
\(y=-4\)
\(x+(-4)+x\cdot(-4)=5\)
\(x-4-4x=5\)
\(-3x = 5 + 4\)
\(-3x=9\)
\(x = -\frac93\)
\(x=-3\)
Ответ: \((-3,-4)\).
б) \(\begin{cases} x+xy+y=10,\\ xy-2x-2y=2 \end{cases}\) \((-)\)
\((x+xy+y)-(xy-2x-2y)=10-2\)
\(x+xy+y-xy+2x+2y=8\)
\(3x+3y=8\) \(/ : 3\)
\(x+y=\dfrac{8}{3}\)
\(y=\dfrac{8}{3}-x\)
\(x+x\left(\dfrac{8}{3}-x\right)+\left(\dfrac{8}{3}-x\right)=10\)
\(x+\dfrac{8}{3}x-x^2+\dfrac{8}{3}-x=10\) \(/\times3\)
\(3x + 8x - 3x^2 + 8 - 3x = 30\)
\(-3x^2 + 8x + 8 - 30=0\)
\(-3x^2 + 8x -22=0\) \(/\times(-1)\)
\(3x^2-8x+22=0\)
\(D=(-8)^2-4\cdot3\cdot22=\)
\(=64-264=-200 < 0\) - корней нет.
Ответ: система не имеет решения.
Пояснения:
При решении каждой системы используем метод вычитания:
1) вычесть почленно левые и правые части уравнений;
2) решить уравнение с одной переменной, полученное на втором шаге или выразить одну переменную через другую;
3) подставить найденное на третьем шаге значение переменной или выражение для одной из переменных в любое из уравнений исходной системы;
4) вычислить значение другой переменной.
Квадратное уравнение
\(ax^2+bx+c=0\)
решаем через дискриминант
\(D=b^2-4ac.\)
Если \( D<0\), то действительных корней уравнение не имеет.
а) В обоих уравнениях присутствуют одинаковые слагаемые \(xy\) и \(x\). Поэтому удобно вычесть первое уравнение из второго: эти слагаемые сократятся, и останется уравнение только с \(y\). Мы получили \(-2y=8\), то есть \(y=-4\). Подставив найденное \(y\) в первое уравнение, нашли \(x\). Система имеет одно решение.
б) Здесь также есть общий член \(xy\). Если из первого уравнения вычесть второе, то \(xy\) сократится, и получится линейная связь между \(x\) и \(y\):
\(x+y=\dfrac{8}{3}\). После подстановки
\(y=\dfrac{8}{3}-x\) в первое уравнение получаем квадратное уравнение относительно \(x\). Дискриминант оказался отрицательным (\(D=-200\)), значит действительных значений \(x\) нет, следовательно, система не имеет решений.
Вернуться к содержанию учебника