Упражнение 522 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(\begin{cases}x^2+y^2\le 25,\\ xy\le 0\end{cases}\)

1) \(x^2+y^2\le 25\)

\(x^2+y^2 = 25\) - окружность с центром \((0;0)\) и радиусом \(5\).

2) \(xy\le 0\)

\(xy = 0\)

\(x=0\)  или  \(y=0\)

\(A(-6; 1)\) - является решением неравенства \(xy\le 0\).

\(-6\cdot1 \le 0\)

\(-6 \le 0\) - верно.

\(B(6; 1)\) - не является решением неравенства \(xy\le 0\).

\(6\cdot1 \le 0\)

\(6 \le 0\) - неверно.

\(C(6; -1)\) - является решением неравенства \(xy\le 0\).

\(6\cdot(-1) \le 0\)

\(-6 \le 0\) - верно.

\(D(-6; -1)\) - не является решением неравенства \(xy\le 0\).

\(-6\cdot(-1) \le 0\)

\(6 \le 0\) - неверно.

б) \(\begin{cases}x^2+y^2\ge 9,\\ xy\ge 0.\end{cases}\)

1) \(x^2+y^2\ge 9\)

\(x^2+y^2=  9\) - окружность с центром \((0;0)\) и радиусом \(3\).

2) \(xy\ge 0\)

\(xy = 0\)

\(x=0\)  или  \(y=0\)

\(A(-4; 1)\) - не является решением неравенства \(xy\ge 0\).

\(-4\cdot1 \ge 0\)

\(-4 \ge 0\) - неверно.

\(B(4; 1)\) - является решением неравенства \(xy\ge 0\).

\(4\cdot1 \ge 0\)

\(4 \ge 0\) - верно.

\(C(4; -1)\) - не является решением неравенства \(xy\ge 0\).

\(4\cdot(-1) \ge 0\)

\(-4 \ge 0\) - неверно.

\(D(-4; -1)\) - является решением неравенства \(xy\ge 0\).

\(-4\cdot(-1) \ge 0\)

\(4 \ge 0\) - верно.

Пояснения:

Сначала разбираем каждое неравенство отдельно, а затем берём их пересечение (общие точки), так как это система.

Графиком уравнения \(x^2+y^2 = r^2\) является окружность c центром \((0;0)\) и радиусом \(r\). Если в неравенстве использован знак \(\le\), то штрихуем область внутри окружности, если в неравенстве использован знак \(\ge\), то штрихуем область за пределами круга.

Произведение равно нулю только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, тогда \(xy = 0\), если \(x = 0\) или \(y = 0\), то есть графиком уравнения \(xy = 0\) является пара прямых:

\(x = 0\) - ось \(y\),

\(y = 0\) - ось \(x\).

Чтобы понять, какую часть плоскости нужно заштриховать, выбирают точку и проверяют, удовлетворяет ли она неравенству. Если да — закрашивают часть плоскости, где лежит эта точка, если нет — не закрашивают.

Построение границы: если неравенство нестрогое (\(\ge\) или \(\le\)), то линия, соответствующая графику уравнения, входит в решение (рисуем график сплошной линией).

а) \( x^2-y^2=5\)

\((x-y)(x+y)=5 \)

\( 5=1\cdot 5;\)

\(5 =(-1)\cdot(-5). \)

1) \( \begin{cases} x - y = 1,\\ x + y = 5 \end{cases} \) \((+)\)

\(2x = 6\)

\(x = \frac{6}{2}\)

\(x = 3\)

\(3 + y = 5\)

\(y = 5-3\)

\(y = 2\)

2) \( \begin{cases} x - y = 5,\\ x + y = 1 \end{cases} \) \((+)\)

\(2x = 6\)

\(x = \frac{6}{2}\)

\(x = 3\)

\(3 + y = 1\)

\(y = 1-3\)

\(y = -2\)

3) \( \begin{cases} x - y = -1,\\ x + y = -5 \end{cases} \) \((+)\)

\(2x = -6\)

\(x = -\frac{6}{2}\)

\(x = -3\)

\(-3+y=-5\)

\(y = -5 + 3\)

\(y = -2\)

4) \( \begin{cases} x - y = -5,\\ x + y = -1 \end{cases} \) \((+)\)

\(2x = -6\)

\(x = -\frac{6}{2}\)

\(x = -3\)

\(-3 + y = -1\)

\(y = -1 + 3\)

\(y = 2\)

Ответ: \((3;2),\;(3;-2),\)

\((-3;-2),\;(-3;2)\).

б) \( x^2-y^2=8\)

\((x-y)(x+y)=8 \)

\( 8=1\cdot 8;\;\,2\cdot 4;\)

\(8=(-1)\cdot(-8);\;\,(-2)\cdot(-4). \)

1) \( \begin{cases} x - y = 1,\\ x + y = 8 \end{cases} \) \((+)\)

\(2x = 9\)

\(x = \frac92\)

\(x = 4,5\) - не является целым.

2) \( \begin{cases} x - y = 8,\\ x + y = 1 \end{cases} \) \((+)\)

\(2x = 9\)

\(x = \frac92\)

\(x = 4,5\) - не является целым.

3) \( \begin{cases} x - y = 2,\\ x + y = 4 \end{cases} \) \((+)\)

\(2x = 6\)

\(x = \frac62\)

\(x = 3\)

\(3 + y = 4\)

\(y = 4 - 3\)

\(y = 1\)

4) \( \begin{cases} x - y = 4,\\ x + y = 2 \end{cases} \) \((+)\)

\(2x = 6\)

\(x = \frac62\)

\(x = 3\)

\(3 + y = 2\)

\(y = 2 - 3\)

\(y = -1\)

5) \( \begin{cases} x - y = -1,\\ x + y = -8 \end{cases} \) \((+)\)

\(2x = -9\)

\(x = -\frac92\)

\(x = -4,5\) - не является целым.

6) \( \begin{cases} x - y = -8,\\ x + y = -1 \end{cases} \) \((+)\)

\(2x = -9\)

\(x = -\frac92\)

\(x = -4,5\) - не является целым.

7) \( \begin{cases} x - y = -2,\\ x + y = -4 \end{cases} \) \((+)\)

\(2x = -6\)

\(x = -\frac62\)

\(x = -3\)

\(-3 + y = - 4\)

\(y = -4 + 3 \)

\(y = -1\)

8) \( \begin{cases} x - y = -4,\\ x + y = -2 \end{cases} \) \((+)\)

\(2x = -6\)

\(x = -\frac62\)

\(x = -3\)

\(-3 + y = -2\)

\(y = -2 + 3 = 0\)

\(y=1\)

Ответ: \((3;1),\;(3;-1),\)

\((-3;-1),\;(-3;1)\).

Пояснения:

Правила и приёмы:

1. Разность квадратов раскладывается по формуле:

\[ x^2-y^2=(x-y)(x+y). \]

2. Для поиска целых решений нужно рассматривать только такие разложения числа на множители, при которых система:

\[ \begin{cases} x-y=m,\\ x+y=n \end{cases} \]

даёт целые значения \(x\) и \(y\), то есть \(m\) и \(n\) должны быть одной чётности.

3. При решении систем используем метод сложения.

Пояснение к заданиям:

В каждом пункте уравнение сведено к произведению двух целых множителей. Перебором всех возможных разложений числа 5 и 8 на множители найдены только те случаи, которые дают целые значения \(x\) и \(y\). Именно они и образуют множество целых решений.