Упражнение 521 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\(|x|+|y|\le 1\)

1) При \(x\ge 0,\ y\ge 0\):

\(|x|=x,\ |y|=y\)

\(x+y\le 1\)

\(y \le -x + 1\)

\(y = -x + 1\)

2) При \(x < 0,\ y \ge 0\):

\(|x|=-x,\ |y|=y\)

\(-x+y\le 1\)

\(y \le x + 1\)

\(y = x + 1\)

3) При \(x < 0,\ y < 0\):

\(|x|=-x,\ |y|=-y\)

\(-x-y\le 1\)

\(-y \le x + 1\)   \(/\times(-1)\)

\(y \ge -x - 1\)

\(y = -x - 1\)

4) При \(x\ge 0,\ y < 0\):

\(|x|=x,\ |y|=-y\)

\(x-y\le 1\)

\(-y \le -x + 1\)   \(/\times(-1)\)

\(y \ge x - 1\)

\(y = x - 1\)

\(M(1; 1)\) - не является решением неравенства.

\(|1|+|1|\le 1\)

\(1 + 1 \le 1\)

\(2 \le 1\) - неверно.

Пояснения:

Используем определение модуля:

\[|t|=\begin{cases} t,& t\ge 0,\\ -t,& t<0. \end{cases}\]

Неравенство \(|x|+|y|\le 1\) содержит модули, поэтому знак \(x\) и знак \(y\) влияют на вид выражения. Чтобы понять геометрический смысл, рассматриваем четыре случая — по четвертям координатной плоскости.

В I четверти (\(x\ge0, y\ge0\)) модули раскрываются как \(x\) и \(y\), получается \(x+y\le1\). Это полуплоскость, лежащая ниже прямой \(x+y=1\) в I четверти. Граница — отрезок между точками \((0,1)\) и \((1,0)\).

Во II четверти (\(x<0, y\ge0\)) получаем \(-x+y\le1\). Граница \(-x+y=1\) даёт отрезок между \((0,1)\) и \((-1,0)\).

В III четверти (\(x<0, y<0\)) получаем \(-x-y\le1\). Граница \(-x-y=1\) даёт отрезок между \((0,-1)\) и \((-1,0)\).

В IV четверти (\(x\ge0, y<0\)) получаем \(x-y\le1\). Граница \(x-y=1\) даёт отрезок между \((1,0)\) и \((0,-1)\).

Объединяя решения во всех четырёх четвертях, получаем фигуру, ограниченную четырьмя такими отрезками. Её вершины находятся на осях координат в точках \((1,0)\), \((0,1)\), \((-1,0)\), \((0,-1)\), как на рисунке 66.

Так как знак \(\le\) нестрогий, граница входит в множество решений, и закрашена вся внутренняя область ромба.

Определение нужной части плоскости: выбирают точку и проверяют, удовлетворяет ли она неравенству. Если да — закрашивают часть плоскости, где лежит эта точка, если нет — противоположную.

а) \((x-a)^2+(y-3)^2=16\)

\(A(2;3)\)

\[ (2-a)^2+(3-3)^2=16 \]

\[ (2-a)^2=16 \]

\(2 - a =\pm\sqrt{16}\)

\[ 2-a=4 \;\text{или}\; 2-a=-4 \]

\(a = 4 - 2\)         \(a = 4 +2\)

\( a=-2\)             \( a=6 \)

Ответ: при \(a = -2\) и \(a = 6\).

б) \((x-a)^2+(y-3)^2=16\)

\(B(7;-1)\)

\[ (7-a)^2+(-1-3)^2=16 \]

\[ (7-a)^2+16=16 \]

\[ (7-a)^2=16 - 16 \]

\[ (7-a)^2=0 \]

\(7 - a = 0\)

\[ a=7 \]

Ответ: при \(a = 7\).

в) \((x-a)^2+(y-3)^2=16\)

\(C(-2;7)\)

\[ (-2-a)^2+(7-3)^2=16 \]

\[ (a+2)^2+16=16 \]

\[ (a+2)^2=16-16 \]

\[ (a+2)^2=0 \]

\(a + 2 = 0\)

\[ a=-2 \]

Ответ: при \(a = -2\).

г) \((x-a)^2+(y-3)^2=16\)

\(D(1;5)\)

\[ (1-a)^2+(5-3)^2=16 \]

\[ (1-a)^2+4=16 \]

\[ (1-a)^2=12 \]

\[1-a=\pm\sqrt{12} \]

\[1-a=\pm\sqrt{4\cdot3} \]

\[1-a=\pm2\sqrt{3} \]

\[ 1-a=2\sqrt{3} \;\text{или}\; 1-a=-2\sqrt{3} \]

\( a=1-2\sqrt3\)         \( a=1+2\sqrt3 \)

Ответ: при \( a=1-2\sqrt3\) и \( a=1+2\sqrt3 \).

Пояснения:

Используемые правила и формулы:

1. Уравнение окружности с центром в точке \((a;3)\) и радиусом \(4\) имеет вид:

\[ (x-a)^2+(y-3)^2=16. \]

2. Точка принадлежит окружности тогда и только тогда, когда её координаты удовлетворяют уравнению окружности.

3. После подстановки координат точки получается уравнение относительно параметра \(a\), которое решается как обычное квадратное уравнение вида: \( x^2=k, \) его корни \(x_{1,2} = \pm\sqrt{k}\).