Упражнение 458 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник
Старая и новая редакции
Вернуться к содержанию учебника
Вопрос
Выберите год учебника
№458 учебника 2023-2026 (стр. 134):
Постройте график уравнения:
а) \(x^2 - y^2 = 0\);
б) \(\dfrac{x^2 - y}{x} = 0\).
№458 учебника 2014-2022 (стр. 123):
Одна из сторон прямоугольника на 14 см больше другой. Найдите стороны прямоугольника, если его диагональ равна 26 см.
Подсказка
№458 учебника 2023-2026 (стр. 134):
№458 учебника 2014-2022 (стр. 123):
Вспомните:
- Уравнения с двумя переменными.
- Системы уравнений с двумя переменными.
- Метод подстановки при решении систем уравнений.
- Что называют прямоугольником.
- Теорему Пифагора.
- Степень с натуральным показателем.
- Квадрат суммы двух выражений.
- Подобные слагаемые.
- Квадратные уравнения.
- Арифметический квадратный корень.
- Деление и дроби.
- Умножение рациональных чисел.
- Сложение рациональных чисел.
- Вычитание рациональных чисел.
- Деление рациональных чисел.
Ответ
№458 учебника 2023-2026 (стр. 134):
а) \(x^2 - y^2 = 0\)
\((x - y)(x+y) = 0\)
\((x - y)=0\) или \((x+y) = 0\)
\(y = x\) \(y = -x.\)
| \(x\) | 1 | -1 | \(x\) | -1 | 1 |
| \(y\) | 1 | -1 | \(y\) | 1 | -1 |
б) \(\frac{x^2 - y}{x} = 0\)
\(x \ne 0\)
\(x^2 - y = 0\)
\(y = x^2\)
Графиком данной функции является парабола, ветви которой направлены вверх, с выколотой точкой \((0; 0).\)
| \(x\) | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| \(y\) | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9 |
Пояснения:
а) Уравнение \(x^2 - y^2 = 0\) можно разложить как разность квадратов:
\(x^2 - y^2 = (x - y)(x + y).\)
\((x - y)(x + y)=0.\)
Произведение равно нулю, значит один из множителей равен нулю:
\(x - y = 0\) или \(x + y = 0\)
\(y = x\) \(y = -x.\)
Следовательно, график состоит из двух пересекающихся прямых: \(y = x\) и \(y = -x\).
б) Дано уравнение:
\[\frac{x^2 - y}{x} = 0.\]
Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю (при ненулевом знаменателе):
\[x^2 - y = 0.\]
Получаем:
\[y = x^2.\]
Это график параболы, ветви которой направлены вверх. Ограничение: \(x \ne 0\), но точка \((0;0)\) всё равно лежит на параболе. Однако в исходном выражении подстановка \(x=0\) невозможна, поэтому точка \((0;0)\) исключается.
График — парабола \(y = x^2\), с выколотой точкой \((0,0)\).
№458 учебника 2014-2022 (стр. 123):
Пусть стороны прямоугольника \(x\) и \(y\) (\(x > 0\) и \(y > 0\)).
\[ \begin{cases} y=x+14,\\ x^2+y^2=26^2 \end{cases} \]
\[ \begin{cases} y=x+14,\\ x^2+(x+14)^2=26^2 \end{cases} \]
\[ x^2+(x+14)^2=26^2 \]
\[ x^2+x^2+28x+196- 676 = 0 \]
\( 2x^2+28x-480=0 \) \(/ : 2\)
\[ x^2+14x-240=0 \]
\( D=b^2 - 4c =\)
\(=14^2-4\cdot1\cdot(-240) =\)
\(=196+960=1156 > 0\) - два действительных корня.
\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\), \( \sqrt{1156}=34 \)
\[ x_1=\frac{-14+34}{2\cdot1}=\frac{20}{2}=10 \]
\( x_2=\frac{-14-34}{2}=\frac{-48}{2}=-24 \) - не удовлетворяет условию.
Если \( x=10 \), то
\[ y=10+14=24 \]
Ответ: \(10\) см и \(24\) см.
Пояснения:
Использованные правила:
1. Составление системы уравнений по условию задачи:
\[ \begin{cases} \text{связь сторон},\\ \text{связь через диагональ} \end{cases} \]
2. Теорема Пифагора:
\[ x^2+y^2=c^2 \]
3. Метод подстановки: если одна переменная выражена через другую, её можно подставить во второе уравнение.
Обозначим стороны прямоугольника через \(x\) и \(y\).
По условию одна сторона на 14 см больше другой:
\[ y=x+14 \]
Диагональ прямоугольника образует прямоугольный треугольник, поэтому:
\[ x^2+y^2=26^2 \]
Получаем систему:
\[ \begin{cases} y=x+14,\\ x^2+y^2=676 \end{cases} \]
Подставляем \(y\) во второе уравнение:
\[ x^2+(x+14)^2=676 \]
Далее решаем квадратное уравнение, раскрывая скобки и приводя подобные:
\[ (x+14)^2=x^2+28x+196 \]
\[ x^2+x^2+28x+196=676 \]
\[ 2x^2+28x-480=0 \]
После деления на 2:
\[ x^2+14x-240=0 \]
Решаем через дискриминант:
\[ D=1156,\quad \sqrt{D}=34 \]
Получаем два корня, но подходит только положительный, так как длина не может быть отрицательным числом:
\[ x=10 \]
Находим вторую сторону:
\[ y=10+14=24 \]
Таким образом, стороны прямоугольника равны 10 см и 24 см.
Вернуться к содержанию учебника