Упражнение 461 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\(\begin{cases} x^2 - 2y > 7,\\ 3x + y > 3 \end{cases} \)

а) \((4;2)\)

\(\begin{cases}4^2 - 2\cdot2 > 7,\\ 3\cdot4 + 2 > 3 \end{cases} \)

\(\begin{cases}16 - 4 > 7,\\ 12 + 2 > 3 \end{cases} \)

\(\begin{cases}12 > 7-\text{верно},\\ 14> 3-\text{верно.} \end{cases} \)

Ответ: пара чисел \((4;2)\) является решением.

б) \((-5;1)\)

\(\begin{cases} (-5)^2 - 2\cdot1 > 7,\\ 3\cdot(-5) + 1 > 3 \end{cases} \)

\(\begin{cases} 25-2> 7,\\ -15 + 1 > 3 \end{cases} \)

\(\begin{cases} 23> 7-\text{верно},\\ -14 > 3-\text{неверно.} \end{cases} \)

Ответ: пара чисел \((-5;1)\) не является решением.

в) \((-2;-1)\)

\(\begin{cases} (-2)^2 - 2\cdot(-1) > 7,\\ 3\cdot(-2) + (-1) > 3 \end{cases} \)

\(\begin{cases} 4 +2 > 7,\\ -6 -1 > 3 \end{cases} \)

\(\begin{cases} 6 > 7-\text{неверно},\\ -7 > 3-\text{неверно.} \end{cases} \)

Ответ: парачисел  \((-2;-1)\) не является решением.

г) \((6;-5)\)

\(\begin{cases} 6^2 - 2\cdot(-5) > 7,\\ 3\cdot6 + (-5) > 3 \end{cases} \)

\(\begin{cases} 36 +10 > 7,\\ 18-5 > 3 \end{cases} \)

\(\begin{cases} 46 > 7-\text{верно},\\ 13 > 3-\text{верно.} \end{cases} \)

Ответ: пара чисел \((6;-5)\) является решением.

Пояснения:

Чтобы проверить, является ли пара \((x_0,y_0)\) решением системы неравенств, нужно:

1) подставить \(x_0\) и \(y_0\) в каждое неравенство;

2) вычислить левую часть каждого неравенства;

3) проверить, является ли верным неравенство;

4) пара является решением, только если выполняются все неравенства системы.

В пункте а) оба неравенства верны.

В пунктах б) и в) хотя бы одно неравенство неверно → пара не подходит.

В пункте г) оба неравенства верны.

Пусть скорость первого отряда \(x\) км/ч, а скорость второго — \(y\) км/ч (\(x>0\) и \(y > 0\)).

За 4 часа первый отряд прошёл \(4x\) км, второй — \(4y\) км, тогда согласно условию

\( 4x - 4y = 4{,}8. \)

А по теореме Пифагора:

\[ (4x)^2 + (4y)^2 = 24^2. \]

Составим систему уравнений:

\[ \begin{cases} 4x - 4y = 4{,}8,   / : 4 \\ (4x)^2 + (4y)^2 = 24^2 \end{cases} \]

\[ \begin{cases} x - y = 1,2, \\ 16x^2 + 16y^2 = 576    / : 16 \end{cases} \]

\[ \begin{cases} x - y = 1,2, \\ x^2 + y^2 = 36 \end{cases} \]

\[ \begin{cases} x = 1,2 + y, \\ (1,2 + y)^2 + y^2 = 36 \end{cases} \]

\[ (y + 1{,}2)^2 + y^2 = 36 \]

\[ y^2 + 2{,}4y + 1{,}44 + y^2 - 36 = 0 \]

\( 2y^2 + 2{,}4y - 34{,}56 = 0 \)  \(/ : 2\)

\[ y^2 + 1{,}2y - 17{,}28 = 0\]

\( D = 1,2^2 - 4\cdot1\cdot(-17,28) =\)

\(=1{,}44 + 69{,}12 = 70{,}56 > 0 \) - 2 корня.

\(\sqrt{70{,}56} = 8{,}4. \)

\( y_1 = \frac{-1{,}2 + 8{,}4}{2\cdot1} = \frac{7,2}{2} = 3{,}6\).

\( y_2 = \frac{-1{,}2 - 8{,}4}{2\cdot1} = \frac{-9,6}{2}= -4,8\) - не удовлетворяет условию.

Если \(y = 3,6\), то

\[ x = 3{,}6 + 1{,}2 = 4{,}8. \]

Ответ: первый отряд шёл со скоростью \(4{,}8\) км/ч, второй — со скоростью \(3{,}6\) км/ч.

Пояснения:

Используемые правила и формулы:

1. Формула пути: \(s = vt\).

2. Если движение происходит по перпендикулярным направлениям, расстояние между объектами находится по теореме Пифагора:

\[ a^2 + b^2 = c^2, \]

где \(a\) и \(b\) - катеты прямоугольного треугольника, \(c\) - его гипотенуза.

3. Систему уравнений с двумя переменными удобно решать методом подстановки. Подстановка приводит к квадратному уравнению.

4. Квадратное уравнение

\(ax^2 + bx + c = 0\) решается через дискриминант \(D = b^2 - 4ac\). Если \(D > 0\), то уравнение имеет 2 корня:

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm\sqrt D}{2a}\).

Подробное объяснение:

Сначала выразили пути отрядов через их скорости и время движения. Разность пройденных расстояний дала первое уравнение системы.

Так как отряды шли на север и восток, угол между направлениями равен \(90^\circ\), поэтому расстояние между ними через 4 часа находится по теореме Пифагора.

Решив полученную систему, нашли скорости каждого отряда. При этом, учли то, что скорость не может быть отрицательной.