Упражнение 460 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\( \begin{cases} 5x - y - 2 = 0, \\ x^2 - 2xy + y^2 = 4 \end{cases} \)

\( \begin{cases} y=5x - 2, \\ (x - y)^2 = 4 \end{cases} \)

\( \begin{cases} y=5x - 2, \\ (x - (5x - 2))^2 = 4 \end{cases} \)

\((x - (5x - 2))^2 = 4 \)

\((x - 5x + 2)^2 = 4 \)

\((2-4x)^2 = 4 \)

\(4-16x+16x^2 = 4 \)

\(16x^2-16x = 0 \)

\( 16x^2 - 16x = 0 \)

\(16x(x - 1) = 0\)

\(x = 0\)  или  \(x-1=0\)

                     \(x=1\)

1) Если \(x = 0\), то

\(y = 5\cdot0 - 2 = -2.\)

2) Если  \(x = 1\), то

\(y = 5\cdot1 - 2 = 3.\)

Ответ: \((0; -2)\); \((1; 3).\)

Пояснения:

В обоих пунктах используется метод подстановки для решения систем уравнений:

1) Из одного уравнения выражаем одну переменную через другую.

2) Подставляем полученное выражение во второе уравнение, получая уравнение с одной переменной.

3) Решаем полученное квадратное уравнение и находим значения переменной.

4) Подставляем найденные значения обратно в выражение для другой переменной.

1. Первое уравнение линейное, поэтому легко выразить одну переменную, например:

\[ y = 5x - 2. \]

2. Второе уравнение имеет вид:

\[ x^2 - 2xy + y^2 = (x - y)^2. \]

Это удобная форма, но можно решать и прямой подстановкой.

3. После подстановки получили квадратное уравнение относительно \(x\), которое разложили на множители:

\[ 16x(x - 1)=0. \]

4. После нахождения значений \(x\) легко получили соответствующие \(y\) из линейного выражения.

Итак, система имеет два решения: \((0; -2)\) и \((1; 3)\).

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны \(x\) см и \(y\) см. Тогда его периметр:

\(x + y + 37 = 84\).

А по теореме Пифагора:

\(x^2 + y^2 = 37^2\)

Составим систему уравнений:

\( \begin{cases} x + y = 47,\\ x^2 + y^2 = 37^2 \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = 47 - x,\\ x^2 + (47 - x)^2 = 1369 \end{cases} \)

\[ x^2 + (47 - x)^2 = 1369 \]

\( x^2 + 2209 - 94x + x^2 - 1369 = 0\)

\( 2x^2 - 94x + 840 = 0 \)   \(/ : 2\)

\[ x^2 - 47x + 420 = 0 \]

\(D = (-47)^2 - 4 \cdot1\cdot420 = \)

\(= 2209 - 1680 = 529 > 0\) - 2 корня.

\(\sqrt{529} = 23\).

\(x_1 = \frac{47 + 23}{2\cdot1} = \frac{70}{2} = 35\).

\(x_2 = \frac{47 - 23}{2\cdot1} = \frac{24}{2} = 12\).

1) Если \(x = 35\), то

\(y = 47 - 35 = 12\).

2) Если \(x = 12\), то

\(y = 47 - 12 = 35\).

Катеты равны 12 см и 35 см.

Площадь прямоугольного треугольника:

\( S = \frac{1}{2}xy = \frac{1}{2}\cdot 12 \cdot 35 = \)

\(=6\cdot35= 210 \) (см²).

Ответ: площадь треугольника равна \(210\) см².

Пояснения:

Используемые правила и формулы:

1. Периметр треугольника равен сумме длин его сторон.

2. Для прямоугольного треугольника выполняется теорема Пифагора:

\[ a^2 + b^2 = c^2, \]

где \(a\) и \(b\) - катеты прямоугольного треугольника, \(c\) - его гипотенуза.

3. Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле:

\[ S = \frac{1}{2}ab. \]

4. Систему уравнений с двумя переменными удобно решать методом подстановки. Подстановка приводит к квадратному уравнению.

5. Квадратное уравнение

\(ax^2 + bx + c = 0\) решается через дискриминант \(D = b^2 - 4ac\). Если \(D > 0\), то уравнение имеет 2 корня:

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm\sqrt D}{2a}\).

Подробное объяснение:

Из условия задачи известны периметр и гипотенуза, поэтому удалось составить систему из двух уравнений с двумя неизвестными катетами.

После подстановки получили квадратное уравнение, корни которого дали длины катетов. Используя формулу площади прямоугольного треугольника, нашли искомое значение.