Упражнение 459 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 134

\[\frac{x - 1}{x + 2} - \frac{1 - x}{x^2 + 3x + 2} = \frac{x - 1}{x + 2} - \frac{-(x - 1)}{x^2 + 3x + 2}\]

\[= \frac{x - 1}{x + 2} + \frac{x - 1}{x^2 + 3x + 2}\]

\[= \frac{x - 1}{x + 2} + \frac{x - 1}{(x + 1)(x + 2)}\]

\[= \frac{(x - 1)(x + 1)}{(x + 2)(x + 1)} + \frac{(x - 1)}{(x + 1)(x + 2)}\]

\[= \frac{(x - 1)(x + 1) + (x - 1)}{(x + 1)(x + 2)}\]

\[= \frac{(x - 1)\bigl((x + 1) + 1\bigr)}{(x + 1)(x + 2)} = \frac{(x - 1)(x + 2)}{(x + 1)(x + 2)}\]

\[= \frac{x - 1}{x + 1},\quad x \ne -2,\ x \ne -1.\]

Пояснения:

1. Сначала упростили вторую дробь: в числителе \(1 - x = -(x - 1)\), поэтому

\[\frac{1 - x}{x^2 + 3x + 2} = -\frac{x - 1}{x^2 + 3x + 2}.\]

Знак «минус» перед дробью поменялся на «плюс», когда мы учли этот минус в числителе.

2. Разложили квадратный трёхчлен в знаменателе на множители:

\[x^2 + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2).\]

Это позволяет увидеть общий знаменатель \((x + 1)(x + 2)\) для обеих дробей.

3. Первую дробь привели к общему знаменателю, домножив числитель и знаменатель на \((x + 1)\):

\[\frac{x - 1}{x + 2} = \frac{(x - 1)(x + 1)}{(x + 2)(x + 1)}.\]

4. Складывая дроби с общим знаменателем, складываем числители и оставляем общий знаменатель:

\[\frac{(x - 1)(x + 1)}{(x + 1)(x + 2)} + \frac{x - 1}{(x + 1)(x + 2)} = \frac{(x - 1)(x + 1) + (x - 1)}{(x + 1)(x + 2)}.\]

5. В числителе вынесли общий множитель \((x - 1)\):

\[(x - 1)(x + 1) + (x - 1) = (x - 1)\bigl((x + 1) + 1\bigr) = (x - 1)(x + 2).\]

6. Получили дробь

\[\frac{(x - 1)(x + 2)}{(x + 1)(x + 2)}.\]

Сократили на общий множитель \((x + 2)\), помня, что \(x \ne -2\), чтобы знаменатель не обращался в нуль, и получили рациональную дробь

\[\frac{x - 1}{x + 1}.\]

Также учитываем ограничение \(x \ne -1\), так как знаменатель \(x + 1\) не должен быть равен нулю.