Упражнение 457 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(xy \ge 0\) 

Ответ: I и III координатные четверти , включая оси координат.

б) \(xy < 0\) 

Ответ: II и IV координатные четверти, не включая оси координат.

Пояснения:

1. Знак произведения двух чисел зависит от их знаков:

- \(xy > 0\) — числа одного знака (оба положительные или оба отрицательные);

- \(xy < 0\) — числа разных знаков;

- \(xy = 0\) — хотя бы одно из чисел равно нулю.

Пояснение к пункту а)

Условие \(xy \ge 0\) включает случаи \(xy > 0\) и \(xy = 0\). Поэтому берём:

- оба положительные (I четверть),

- оба отрицательные (III четверть),

- любые точки на осях, где либо \(x = 0\), либо \(y = 0\).

Оси координат входят в решение, так как произведение равно нулю, а ноль удовлетворяет \(\ge 0\).

Пояснение к пункту б)

Условие \(xy < 0\) исключает случай равенства нулю и оставляет только противоположные знаки:

- \(x > 0\), \(y < 0\) (IV четверть),

- \(x < 0\), \(y > 0\) (II четверть).

Оси координат в решение не входят, потому что там произведение равно нулю, а ноль не меньше нуля.

Пусть стороны прямоугольника равны \(x\) см и \(y\) см (\(x>0\) и \(y > 0\)).

Тогда периметр прямоугольника:

\(2(x + y) = 28\),

а по теореме Пифагора:

\(x^2 + y^2 = 10^2\).

Составим систему уравнений:

\( \begin{cases} 2(x + y) = 28,  / : 2 \\ x^2 + y^2 = 100. \end{cases} \)

\( \begin{cases} x + y = 14, \\ x^2 + y^2 = 100. \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = 14 - x, \\ x^2 + (14 - x)^2 = 100. \end{cases} \)

\[ x^2 + (14 - x)^2 = 100 \]

\[ x^2 + 196 - 28x + x^2 - 100 = 0 \]

\( 2x^2 - 28x + 96 = 0\)   \(/ :2\)

\[ x^2 - 14x + 48 = 0 \]

\(D = (-14)^2 - 4\cdot1\cdot48 =\)

\(=196 - 192 = 4 > 0\) - 2 корня.

\(\sqrt 4 = 2\).

\(x_1 = \frac{14 + 2}{2\cdot1} = \frac{16}{2} = 8\).

\(x_2 = \frac{14 - 2}{2\cdot1} = \frac{12}{2} = 6\).

1) Если  \(x = 6\), то

\(y = 14 - 6 = 8\).

2) Если \(x = 8\), то

\(y = 14 - 8 = 6\).

Ответ: стороны прямоугольника равны \(6\) см и \(8\) см.

Пояснения:

Используемые правила и формулы:

1. Периметр прямоугольника вычисляется по формуле:

\[ P = 2(a + b), \]

где \(a\) и \(b\) - стороны прямоугольника.

2. Диагональ прямоугольника находится по теореме Пифагора:

\[ d^2 = a^2 + b^2. \]

3. Систему уравнений с двумя переменными удобно решать методом подстановки. Подстановка приводит к квадратному уравнению.

4. Квадратное уравнение

\(ax^2 + bx + c = 0\) решается через дискриминант \(D = b^2 - 4ac\). Если \(D > 0\), то уравнение имеет 2 корня:

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm\sqrt D}{2a}\).

Подробное объяснение:

Так как известны периметр и диагональ, мы составили систему из двух уравнений: одно описывает сумму сторон (периметр прямоугольника), другое — связь сторон через диагональ.

После подстановки получили квадратное уравнение, которое имеет два корня. Они соответствуют тем же самым сторонам, только записанным в разном порядке.