Упражнение 412 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(\begin{cases}2x+3y=4,\\3x+2y=2\end{cases}\)

\(\frac23 \ne \frac32, \Rightarrow\) система имеет единственное решение.

б) \(\begin{cases}2x+3y=4,\\4x+6y=2\end{cases}\)

\(\frac24 = \frac12\),   \(\frac36 = \frac12\),   \(\frac42=2\).

\(\frac24 = \frac36 \ne \frac42, \Rightarrow\) система не имеет решений.

в) \(\begin{cases}3x-6y=2,\\-x+2y=-1\end{cases}\)

\(\frac{3}{-1} = -3\),   \(\frac{-6}{2} = -3\),   \(\frac{2}{-1} =-2\).

\(\frac{3}{-1} = \frac{-6}{2} \ne \frac{2}{-1}, \Rightarrow\) система не имеет решений.

г) \(\begin{cases}2x=5,\\3x+2y=2\end{cases}\)

\(\frac23 \ne \frac02, \Rightarrow\) система имеет единственное решение.

д) \(\begin{cases}3y=4,\\4x+6y=1\end{cases}\)

\(\frac34 \ne \frac06, \Rightarrow\) система имеет единственное решение.

е) \(\begin{cases}3x+5y=-6,\\9x+15y=-18\end{cases}\)

\(\frac39 = \frac13\),   \(\frac{5}{15} = \frac13\),   \(\frac{-6}{-18} = \frac13\).

\(\frac39 = \frac{5}{15} = \frac{-6}{-18}\) - система имеет бесконечно много решений.

Пояснения:

Правила, которые используются:

Рассматриваем систему вида

\[ \begin{cases} a_1x+b_1y=c_1,\\ a_2x+b_2y=c_2. \end{cases} \]

1) Если \(a_1b_2-a_2b_1\ne 0\) и \(\dfrac{a_1}{a_2}\ne\dfrac{b_1}{b_2}\), то система имеет одно решение (прямые пересекаются).

2) Если \(a_1b_2-a_2b_1= 0\) и

\(\dfrac{a_1}{a_2}=\dfrac{b_1}{b_2}\ne \dfrac{c_1}{c_2}\), то решений нет (прямые параллельны).

3) Если \(a_1b_2-a_2b_1\ne 0\) и

\(\dfrac{a_1}{a_2}=\dfrac{b_1}{b_2}= \dfrac{c_1}{c_2}\), то решений бесконечно много (прямые совпадают).

а) \(25x^2 + 6x \leq 0\) - парабола, ветви которой направлены вверх.

\(x(25x + 6) = 0\)

\(x = 0\)  или  \(25x = -6\)

                     \( x = -\dfrac{6}{25}\)

Ответ: \(x\in \left[-\frac{6}{25}; 0\right]\).

б) \(x^2 - 169 > 0\) - парабола, ветви которой направлены вверх.

\(x^2 - 169 = 0\)

\(x^2 = 169\)

\(x = \pm13\)

Ответ: \(x \in (-\infty;\,-13) \cup (13;\,\infty)\).

в) \(4x^2 - 225 \leq 0\) - парабола, ветви которой направлены вверх.

\(4x^2 - 225 = 0\)

\(4x^2 = 225\)

\(x^2 = \dfrac{225}{4} \)

\(x = \pm\dfrac{15}{2} \)

\(x = \pm7,5\)

Ответ: \(x\in [-7,5; 7,5]\).

г) \(y^2 < 10y + 24\)

\(y^2 - 10y - 24 < 0\) - парабола, ветви которой направлены вверх.

\(y^2 - 10y - 24 = 0\)

\(D = (-10)^2 - 4\cdot1\cdot (-24) = \)

\( = 100 + 96 = 196 > 0\) - 2 корня.

\(\sqrt{196} = 14\).

\(x_{1} = \frac{10 + 14}{2\cdot1} = \frac{24}{2} = 12\).

\(x_{2} = \frac{10 - 14}{2\cdot1} = \frac{-4}{2} = -2\).

Ответ: \(x\in (-2; 12)\).

д) \(15y^2 + 30 > 22y + 7\)

\(15y^2 + 30 - 22y - 7 > 0\)

\(15y^2 - 22y + 23 > 0\) - парабола, ветви которой направлены вверх.

\(15y^2 - 22y + 23 = 0\)

\(D = (-22)^2 - 4\cdot 15 \cdot 23 =\)

\(=484 - 1380 = -896 < 0\) - корней нет.

Ответ: \(y \in (-\infty; +\infty)\).

е) \(3y^2 - 7 \leq 26y + 70\)

\(3y^2 - 7 - 26y - 70 \leq 0\)

\(3y^2 - 26y - 77 \leq 0\) - парабола, ветви которой направлены вверх.

\(D = (-26)^2 - 4\cdot 3 \cdot (-77) =\)

\(=676 + 924 = 1600 > 0\) - 2 корня.

\(\sqrt{1600} = 40\).

\(y_{1} = \dfrac{26 + 40}{2\cdot 3} = \dfrac{66}{6} = 11.\)

\(y_{2} = \dfrac{26 - 40}{2\cdot 3} = \dfrac{-14}{6} = -\frac{7}{3} =\)

\(=-2\frac{1}{3}.\)

Ответ: \(x\in \left[-2\frac{1}{3}; 11\right]\).

Пояснения:

Решение неравенств вида

\(ax^2 + bx + c > 0\), \(ax^2 + bx + c \ge 0\),

\(ax^2 + bx + c < 0\), \(ax^2 + bx + c \le 0\):

1) находим корни квадратного трехчлена \(ax^2 + bx + c\), если они есть;

2) если трехчлен имеет корни, то отмечаем их на оси \(x\) и через отмеченные точки проводим схематически параболу, ветви которой направлены вверх при \(a > 0\) или вниз при \(a < 0\); если трехчлен не имеет корней, то схематически изображают параболу, расположенную в верхней полуплоскости при \(a > 0\) или нижней при \(a < 0\);

3) находят на оси \(x\) промежутки, для которых точки параболы расположены выше оси \(x\) (если решают неравенство вида \(ax^2 + bx + c > 0\)) или ниже оси \(x\) (если решают неравенство вида \(ax^2 + bx + c < 0\)), выше оси \(x\) и на оси \(x\) (если решают неравенство вида \(ax^2 + bx + c \ge 0\)) или ниже оси \(x\) и на оси \(x\) (если решают неравенство вида \(ax^2 + bx + c \le 0\)).

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку.

Если знак неравенства нестрогий (\(\geq\)  или \(\leq\)), то точку на координатной прямой делаем закрашенной, а при записи промежутка используем квадратную скобку.

У \(-\infty\) и \(+\infty\) при записи промежутка скобка всегда круглая.

Дискриминант квадратного трехчлена

\(ax^2 + bx + c \):

\(D = b^2 - 4ac\).

Если \(D > 0\), то квадратный трехчлен имеет 2 корня:

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\).

Если \(D < 0\), то квадратный трехчлен не имеет корней.

В случае, когда коэффициент \(c = 0\), то есть имеем двучлен \(ax^2 + bx\), корни находим разложением многочлена на множители \(x(ax + b)\) и используем то, что произведение равно нулю только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю: \(x = 0\)  или \(ax + b = 0\), откуда \(x = -\frac{b}{a}\).

В случае, когда коэффициент \(b = 0\), то есть имеем двучлен \(ax^2 + c\), корни которого: \(x_1 = -\sqrt{\frac{-c}{a}}\) и \(x_2= \sqrt{\frac{-c}{a}}\).