Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№409 учебника 2023-2026 (стр. 123):
При каких значениях \(a\) решением системы уравнений
\(\begin{cases} x + y = a + 1,\\ 3x - y = a - 1 \end{cases}\)
является пара положительных чисел?
№409 учебника 2014-2022 (стр. 113):
При каких значениях \(r\) окружность \((x-5)^2 + (y-7)^2 = r^2\):
а) касается оси \(x\);
б) касается оси \(y\)?
№409 учебника 2023-2026 (стр. 123):
Вспомните:
№409 учебника 2014-2022 (стр. 113):
Вспомните:
№409 учебника 2023-2026 (стр. 123):
\(\begin{cases} x + y = a + 1,\\ 3x - y = a - 1 \end{cases}\) \((+)\)
\((x + 3x) + (y - y) = (a + a) + (1 - 1)\)
\(4x = 2a\)
\(x = \dfrac{a}{2}\)
\(\dfrac{a}{2} + y = a + 1\)
\(y = a + 1 - \dfrac{a}{2}\)
\(y = \dfrac{a}{2} + 1\)
Решение системы:
\(x = \dfrac{a}{2}\), \(y = \dfrac{a}{2} + 1\).
1) \(x > 0\)
\(\dfrac{a}{2} > 0\) \(/\times2\)
\(a > 0\)
2) \(y > 0\)
\(\dfrac{a}{2} + 1 > 0\)
\(\dfrac{a}{2} > -1\) \(/\times2\)
\(a > -2\)
3) \(\begin{cases} a > 0,\\ a > -2, \end{cases} \, \Rightarrow \, a > 0\)
Ответ: решением системы является пара положительных чисел при всех значениях \(a > 0\).
Пояснения:
Используемые правила:
1. Систему линейных уравнений можно решать способом сложения.
2. После нахождения решения с параметром необходимо отдельно проверить дополнительные условия (в данной задаче — положительность чисел).
Подробное объяснение:
Система линейная и имеет единственное решение при любом \(a\). Мы выразили \(x\) и \(y\) через параметр \(a\):
\[ x = \frac{a}{2}, \qquad y = \frac{a}{2} + 1. \]
Чтобы пара \((x,y)\) состояла из положительных чисел, оба выражения должны быть больше нуля. Это приводит к неравенствам \(a>0\) и \(a>-2\). Более строгое из них — \(a>0\), оно и является ответом.
№409 учебника 2014-2022 (стр. 113):
а) \((x-5)^2 + (y-7)^2 = r^2\)
\((5; 7)\) - центр окружности.
Касается оси \(x\):
\((5; 0)\) - точка касания.
\((5-5)^2 + (0-7)^2 = r^2\)
\(0^2 + (-7)^2 = r^2\)
\(7^2 = r^2\)
\(r = 7\)
Ответ: при \(r = 7\).
б) \((x-5)^2 + (y-7)^2 = r^2\)
\((5; 7)\) - центр окружности.
Касается оси \(y\):
\((0; 7)\) - точка касания.
\((0-5)^2 + (7-7)^2 = r^2\)
\((-5)^2 + 0^2 = r^2\)
\(5^2 = r^2\)
\(r = 5\)
Ответ: при \(\;r = 5.\)
Пояснения:
Общий вид уравнения окружности:
\((x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\),
где \((a; b)\) - координаты центра окружности, \(r\) - ее радиус.
а) Если окружность касается оси \(x\), то точка касания имеет координаты \((a; 0)\). Подставляя координаты точки касания в уравнение окружности находим значение \(r\).
б) Если окружность касается оси \(y\), то точка касания имеет координаты \((0; b)\). Подставляя координаты точки касания в уравнение окружности находим значение \(r\).
Вернуться к содержанию учебника