Упражнение 407 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(y = 2x\) и \(y = -2x\)

\((y - 2x)(y + 2x) = 0\)

б) \(y = x^2\) и \(y = -2\)

\((y - x^2)(y + 2) = 0\)

Пояснения:

Основной принцип:

Если график состоит из нескольких линий (или кривых), то общее уравнение можно получить, приравняв к нулю произведение выражений, каждое из которых обращается в ноль на своём графике.

Пояснение к пункту а).

Прямая \(y = 2x\) задаётся уравнением \(y - 2x = 0\).

Прямая \(y = -2x\) задаётся уравнением \(y + 2x = 0\).

Произведение этих выражений равно нулю тогда и только тогда, когда выполняется хотя бы одно из них. Следовательно, график уравнения

\[ (y - 2x)(y + 2x) = 0 \]

представляет собой объединение двух данных прямых.

Пояснение к пункту б).

Парабола \(y = x^2\) задаётся уравнением \(y - x^2 = 0\).

Прямая \(y = -2\) задаётся уравнением \(y + 2 = 0\).

Уравнение

\[ (y - x^2)(y + 2) = 0 \]

обращается в ноль на всех точках параболы и на всех точках прямой, значит его график — объединение этих двух линий.

\( \frac{(2x+y)^2}{4} - (x - 0{,}5y)^2 = 24\) \(/\times 4\)

\((2x + y)^2 - 4(x - 0,5y)^2 = 96\)

\(4x^2 + 4xy + y^2 - 4(x^2-xy + 0,25y^2) = 96\)

\(\cancel{4x^2} + 4xy + \cancel{y^2} - \cancel{4x^2} + 4xy - \cancel{y^2} = 96\)

\(8xy = 96\)   \(/ : 8\)

\(xy = 12\)

\(y = \frac{12}{x}\) - гипербола.

Ответ: 3. Гипербола.

Пояснения:

Чтобы понять, что является графиком данного уравнения, нужно преобразовать это уравнение.

Сначала домножаем обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от знаменателя. Затем раскрываем скобки, применив формулы квадрата суммы и квадрата разности двух выражений, а также распределительное свойство умножения. Далее приводим подобные слагаемые и разделив обе части уравнения на 8, получаем уравнение \(y = \frac{12}{x}\), что соответствует уравнению гиперболы, общий вид которого: \(y = \frac{k}{x}\), где \(k\) - произвольное число.