Упражнение 411 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\(15\) мин = \(\frac14\) ч.

\( x > 0\)

Составим уравнение:

\( \frac{36}{x} - \frac{36}{x+2} = \frac{1}{4}\)  \(/\times4x(x+2)\)

\(144(x + 2) - 144x = x(x+2)\)

\(\cancel{144x} + 288 - \cancel{144x} = x^2 + 2x\)

\(288 = x^2 + 2x\)

\(x^2 + 2x - 288 = 0\)

\( D = 2^2 - 4 \cdot 1\cdot (-288) =\)

\(=4 + 1152 = 1156 > 0\) - 2 корня.

\( \sqrt{1156} = 34. \)

\( x_1 = \frac{-2 + 34}{2} = 16,\)

\(x_2 = \frac{-2 - 34}{2} = -18 < 0 \) - не удовлетворяет условию.

1) \( 16\) (км/ч) - скорость первого велосипедиста.

2) \( 16 + 2 = 18 \) (км/ч) - скорость второго велосипедиста.

Ответ: \(16\) км/ч и \(18\) км/ч.

Пояснения:

Используемые правила и формулы:

1. Формула пути:

\(\; s = vt \), откуда \(\; t = \dfrac{s}{v}\).

2. Если один участник начал движение позже, разность времени движения учитывается отдельно.

3. Квадратное уравнение вида

\(\; ax^2 + bx + c = 0 \;\) решается через дискриминант \(D = b^2 - 4ac\). Если \(D > 0\), то уравнение имеет 2 корня:

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\).

Подробное объяснение:

Так как велосипедисты встретились в середине пути, каждый проехал одинаковое расстояние — 36 км. Первый начал движение раньше, поэтому его время в пути больше на 15 минут (\(\frac14\) часа).

Составив уравнение на основе времени движения и скоростей, получили дробно-рациональное уравнение, домножив которое на общий знаменатель дробей и выполнив преобразования, получили квадратное уравнение. Из двух корней подходит только положительный, так как скорость не может быть отрицательной, для которого нашли соответствующее значение скорости второго велосипедиста.

а) \(xy=2\)

\(y=\frac2x\)

Если \(x = 1\), то \(y = \frac21 = 2\).

Если \(x = -1\), то \(y = \frac{2}{-1} = -2\).

Если \(x = 2\), то \(y = \frac22 = 1\).

Если \(x = -2\), то \(y = \frac{2}{-2} = -1\).

Ответ: \((1,2); (2,1); (-1,-2); (-2,-1)\).

б) \(x^{2}-y^{2}=3\)

\((x-y)(x+y)=3\).

\((1,3),(3,1),(-1,-3),(-3,-1)\).

1) \(1\cdot3 = 3\)

\( \begin{cases} x-y=1,\\ x+y=3, \end{cases} \)  \((+)\)

\( \begin{cases} 2x=4,\\ x+y=3, \end{cases} \)

\( \begin{cases} x=\frac42,\\ y=3-x, \end{cases} \)

\( \begin{cases} x=2,\\ y=3-2, \end{cases} \)

\( \begin{cases} x=2,\\ y=1, \end{cases} \)

2) \(3\cdot1 = 3\)

\( \begin{cases} x-y=3,\\ x+y=1, \end{cases} \)  \((+)\)

\( \begin{cases} 2x=4,\\ x+y=1, \end{cases} \)

\( \begin{cases} x=\frac42,\\ y=1 - x, \end{cases} \)

\( \begin{cases} x=2,\\ y=1 - 2, \end{cases} \)

\( \begin{cases} x=2,\\ y=-1, \end{cases} \)

3) \(-1\cdot(-3) = 3\)

\( \begin{cases} x-y=-1,\\ x+y=-3, \end{cases} \)  \((+)\)

\( \begin{cases} 2x=-4,\\ x+y=-3, \end{cases} \)

\( \begin{cases} x=-\frac42,\\ y=-3 - x, \end{cases} \)

\( \begin{cases} x=-2,\\ y=-3 - (-2), \end{cases} \)

\( \begin{cases} x=-2,\\ y=-1, \end{cases} \)

4) \(-3\cdot(-1) = 3\)

\( \begin{cases} x-y=-3,\\ x+y=-1, \end{cases} \)  \((+)\)

\( \begin{cases} 2x=-4,\\ x+y=-1, \end{cases} \)

\( \begin{cases} x=-\frac42,\\ y=-1 - x, \end{cases} \)

\( \begin{cases} x=-2,\\ y=-1 - (-2), \end{cases} \)

\( \begin{cases} x=-2,\\ y=-1. \end{cases} \)

Ответ: \((2,1),(2,-1),(-2,-1),(-2,1)\).

Пояснения:

В пункте а) выражаем \(y\) через \(x\) и подбираем такие целые значения \(x\), чтобы \(y\) также принимал целые значения.

В пункте б) разность квадратов раскладывается по формуле

\( x^{2}-y^{2}=(x-y)(x+y). \)

Если \((x-y)(x+y)=3\), то обе скобки — целые делители числа \(3\). Так как \(3\) — простое, его целые делители: \(\pm1,\pm3\). Пары делителей, дающих произведение \(3\): \((1,3),(3,1),(-1,-3),(-3,-1)\). Для каждой пары решаем систему \( \begin{cases} x-y=a,\\ x+y=b, \end{cases} \). Систему решаем способом сложения.