Упражнение 253 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

Составим уравнение:

\( \frac{60}{х - 10} - \frac{60}{х} = 0,3\) \(/\times 10x(x - 10)\)

ОДЗ: \(x \ne 0\)  и  \(x - 10 \ne 0\)

                          \(x \ne 10\)

\(600x - 600(x - 10) = 3x(x-10)\)

\(\cancel{600x} - \cancel{600x} + 6000 = 3x^2 - 30x\)

\(3x^2 - 30x - 6000 = 0\)   \(/ : 3\)

\(x^2 - 10x - 2000 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = -10\),  \(c = -2000\)

\( D =b^2 - 4ac =\)

\(= (-10)^{2} - 4 \cdot1 \cdot (-2000) =\)

\(=100 + 8000 = 8100. \)

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\),    \(\sqrt{D} = 90\).

\(x_1 = \frac{10 + 90}{2\cdot1} = \frac{100}{2} = 50 \).

\(x_2 = \frac{10 - 90}{2\cdot1} = \frac{-80}{2} = -40 \) не удовлетворяет условию.

1) \(50\) км/ч - скорость от села до озера.

2) \( 50 - 10 = 40\) (км/ч) - скорость от озера до села.

3) \(\frac{60}{40} = \frac{3}{2} = 1,5\) (ч).

Ответ: мотоциклист ехал от озера до села 1,5 ч.

Пояснения:

Решаем задачу с помощью уравнения.

Вводим переменную \(x\) и согласно условию составляем рациональное уравнение, учитывая то, что время рассчитывается по формуле \(t = \frac{S}{v}\), где \(S\) - пройденный путь, \(v\) - скорость движения.

Чтобы избавиться от дробей, умножаем обе части уравнения на общий знаменатель дробей, входящих в уравнение, и получаем полное квадратное уравнение, которое решаем через дискриминант. Отрицательный корень отбрасываем, так как скорость не может быть отрицательным числом. Положительный корень соответствует скорости движения от села до города. Далее находим скорость от озера до села и время.

\(y = x^n\)

а) \(A(2; 8)\):

\(8=2^n\)

\(2^3=2^n\)

\(n = 3.\)

Ответ: \(n = 3.\)

б) \(B(3{,}5; 12{,}25)\):

\(12{,}25=3{,}5^n\)

\(3{,}5^2=3{,}5^n\)

\(n = 2.\)

Ответ: \(n = 2.\)

в) \(C(-3; 81)\):

\(81=(-3)^n\)

\((-3)^4=(-3)^n\)

\(n = 4.\)

Ответ: \(n = 4.\)

г) \(D(-2; -32)\).

\(-32=(-2)^n\)

\((-2)^5=(-2)^n\)

\(n = 5.\)

Ответ: \(n = 5.\)

Пояснения:

Основные правила:

1. Если степени равны по основанию:

\[ a^n = a^m \Rightarrow n = m \]

2. Чётная степень отрицательного числа даёт положительный результат:

\[ (-a)^{2n} = a^{2n} \]

3. Нечётная степень отрицательного числа даёт отрицательный результат:

\[ (-a)^{2n+1} = -a^{2n+1} \]

Рассмотрим каждое задание:

а) Подставляем координаты точки в функцию \(y = x^n\):

\[ 8 = 2^n \]

Представляем \(8\) как степень двойки:

\[ 8 = 2^3 \]

Основания одинаковые, значит показатели равны: \(n = 3\).

б) Аналогично:

\[ 12{,}25 = (3{,}5)^n \]

Замечаем:

\[ 12{,}25 = (3{,}5)^2 \]

Следовательно, \(n = 2\).

в) Подставляем:

\[ 81 = (-3)^n \]

Представим:

\[ 81 = 3^4 \]

Чтобы получить положительное число при отрицательном основании, степень должна быть чётной. Значит \(n = 4\).

г) Подставляем:

\[ -32 = (-2)^n \]

\[ 32 = 2^5 \]

Чтобы получить отрицательное число, степень должна быть нечётной. Значит \(n = 5\).

Итак, мы использовали разложение чисел в степени и свойства чётности степеней.