Упражнение 256 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

Составим уравнение:

\( \frac{80}{x} - \frac{90}{x+5} = 2\)  \(/\times x(x + 5)\)

ОДЗ: \(x \ne 0\)  и  \(x + 5 \ne 0\)

                          \(x \ne -5\)

\(80(x+5) - 90x = 2x(x+5)\)

\(80x + 400 - 90x = 2x^2 + 10x\)

\(400 - 10x = 2x^2 + 10x\)

\(2x^2 + 20x - 400 = 0\)  \(/ : 2\)

\(x^2 + 10x - 200 = 0\) 

\(a = 1\),  \(b = 10\),  \(c = -200\)

\( D = b^2 - 4ac =\)

\(=10^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-200) = \)

\(=100 + 800 = 900, \)

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\),     \( \sqrt{D} = 30. \)

\(x_{1} = \frac{-10 + 30}{2\cdot 1}=\frac{20}{2}=10.\)

\(x_{2} = \frac{-10 - 30}{2\cdot 1}=\frac{-40}{2}=-20\) - не удовлетворяет условию.

1) \(10\) (ц/га) - урожайность первого участка.

2) \(10 + 5= 15\) (ц/га) - урожайность второго участка.

Ответ: первый участок — 10 ц/га, второй участок — 15 ц/га.

Пояснения:

Решаем задачу с помощью уравнения.

Вводим переменную \(x\) и согласно условию составляем рациональное уравнение, учитывая то, что

\(площадь = \frac{урожай}{урожайность}\).

Чтобы избавиться от дробей, умножаем обе части уравнения на общий знаменатель дробей, входящих в уравнение, и получаем полное квадратное уравнение, которое решаем через дискриминант. Отрицательный корень отбрасываем, так как урожайность не может быть отрицательным числом.

а) \(x^{10} = 2\), \(2 > 0\) → 2 корня

б) \(x^{10} = 0\) → \(x = 0\) → 1 корень

в) \(x^{10} = -3\), \(-3 < 0\) → 0 корней

г) \(x^7 = 5\) → 1 корень

д) \(x^7 = 0\) → \(x = 0\) → 1 корень

е) \(x^7 = -1\) → 1 корень

Пояснения:

Основные правила:

1. Чётная степень:

\[ x^{2n} \ge 0 \text{ при любом } x \]

Уравнение \(x^{2n} = a\):

если \(a > 0\), то 2 корня (\(+\) и \(-\));

если \(a = 0\), то 1 корень;

если \(a < 0\), то решений нет.

2. Нечётная степень:

\[ x^{2n+1} \in \mathbb{R} \text{ принимает любые значения} \]

Уравнение \(x^{2n+1} = a\) всегда имеет ровно один корень.

Разбор заданий:

а) Степень чётная (10), правая часть положительная → два корня: положительный и отрицательный.

б) Единственное число, десятая степень которого равна нулю — это ноль.

в) Чётная степень не может дать отрицательное число → решений нет.

г) Нечётная степень → всегда один корень.

д) Единственный корень — ноль.

е) Нечётная степень → всегда один корень (отрицательный).