Упражнение 255 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

Составим уравнение:

\(\frac{45}{x+3} - \frac{30}{x} = \frac{1}{2}\)  \(/\times 2x(x+3)\)

ОДЗ: \(x \ne 0\)  и  \(x + 3 \ne 0\)

                          \(x \ne -3\)

\(90x - 60(x+3) = x(x+3)\)

\(90x - 60x - 180 = x^2+3x\)

\(30x - 180 = x^2+3x\)

\(x^2 + 3x - 30x + 180 = 0\)

\(x^2 - 27x + 180 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = -27\),  \(c = 180\)

\( D =b^2 - 4ac=\)

\(=(-27)^{2} - 4\cdot1 \cdot 180 =\)

\(=729 - 720 = 9 > 0\) - 2 корня.

\(x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt D}{2a}\),   \( \sqrt{D} = 3. \)

\(x_1 = \frac{27 + 3}{2\cdot1}=\frac{30}{2} = 15. \)

\(x_2 = \frac{27 - 3}{2\cdot1}=\frac{24}{2} = 12. \)

1) Если \(x = 15\), то

\( \frac{30}{15} = 2\) (ч) - время первого лыжника.

\(\frac{45}{15 + 3} = \frac{45}{18}=\frac52= 2,5\) \(ч) - время второго лыжника.

\( 3 - 2,5 = 0,5\) (ч) - соответствует условию.

2) Если \(x = 12\), то

\( \frac{30}{12} = \frac{5}{2}= 2,5\) (ч) - время первого лыжника.

\(\frac{45}{12 + 3} = \frac{45}{15}=3\) (ч) - время второго лыжника.

\( 3 - 2,5 = 0,5\) (ч) - соответствует условию.

Ответ: первый лыжник мог пройти дистанцию за 2 ч или 2,5 ч.

Пояснения:

Решаем задачу с помощью уравнения.

Вводим переменную \(x\) и согласно условию составляем рациональное уравнение, учитывая то, что время рассчитывается по формуле \(t = \frac{S}{v}\), где \(S\) - пройденный путь, \(v\) - скорость движения .

Чтобы избавиться от дробей, умножаем обе части уравнения на общий знаменатель дробей, входящих в уравнение, и получаем полное квадратное уравнение, которое решаем через дискриминант. Оба полученные корня соответствуют условию задачи, значит, задача имеет два решения.

\(y=x^3\)

а) \(y=-x^3\)

График данной функции получается из графика функции \(y=x^3\) отражением относительно оси \(Ox\)

б) \(y=x^3-1\)

График данной функции получается из графика функции \(y=x^3\) сдвигом на \(1\) вниз.

в) \(y=(x-2)^3\)

Базовый график: \(y=x^3\).

График данной функции получается из графика функции \(y=x^3\) сдвигом на \(2\) вправо:

г) \(y=(x-2)^3+1\)

График данной функции получается из графика функции \(y=x^3\) сдвигом на \(2\) вправо и на \(1\) вверх:

\(y=x^4\)

д) \(y=-x^4\)

График данной функции получается из графика функции \(y=x^4\) отражением относительно оси \(Ox\)

е) \(y=x^4-1\)

График данной функции получается из графика функции \(y=x^4\) сдвигом на \(1\) вниз.

ж) \(y=(x-3)^4\)

График данной функции получается из графика функции \(y=x^4\) сдвигом на \(3\) вправо:

з) \(y=(x-3)^4+2\)

График данной функции получается из графика функции \(y=x^4\) сдвигом на \(3\) вправо и на \(2\) вверх:

Пояснения:

Используемые правила и формулы:

1. Базовые графики:

\[y=x^3\]

\[y=x^4\]

График \(y=x^3\) — возрастающая кривая, проходящая через начало координат.

График \(y=x^4\) — чётная функция, симметричная относительно оси \(Oy\), с вершиной в точке \((0;0)\).

2. Отражение относительно оси \(Ox\):

\[y=-f(x)\]

Это значит, что у каждой точки графика меняется знак ординаты: \((x;y)\to(x;-y)\).

3. Сдвиг вправо на \(a\):

\[y=f(x-a)\]

Это значит, что каждая точка графика перемещается вправо на \(a\): \((x;y)\to(x+a;y)\).

4. Сдвиг вверх на \(b\):

\[y=f(x)+b\]

Это значит, что каждая точка графика перемещается вверх на \(b\): \((x;y)\to(x;y+b)\).

Теперь поясним каждый пункт.

а) \(y=-x^3\)

Сначала берём график \(y=x^3\). Затем отражаем его относительно оси \(Ox\). Поэтому положительные значения становятся отрицательными, а отрицательные — положительными.

б) \(y=x^3-1\)

Это график \(y=x^3\), который опустили вниз на \(1\). Поэтому каждая точка имеет ту же абсциссу, но ордината уменьшается на \(1\).

в) \(y=(x-2)^3\)

Это график \(y=x^3\), который сдвинули вправо на \(2\). Точка перегиба из \((0;0)\) переходит в \((2;0)\).

г) \(y=(x-2)^3+1\)

Здесь выполняются сразу два преобразования: сначала график \(y=x^3\) сдвигается вправо на \(2\), затем вверх на \(1\). Поэтому точка \((0;0)\) переходит в \((2;1)\).

д) \(y=-x^4\)

Сначала рассматриваем график \(y=x^4\). Он направлен вверх. После умножения на \(-1\) график отражается относительно оси \(Ox\), поэтому ветви направлены вниз.

е) \(y=x^4-1\)

Это график \(y=x^4\), сдвинутый вниз на \(1\). Минимум был в точке \((0;0)\), а станет в точке \((0;-1)\).

ж) \(y=(x-3)^4\)

Это график \(y=x^4\), сдвинутый вправо на \(3\). Поэтому вершина из \((0;0)\) переходит в \((3;0)\).

з) \(y=(x-3)^4+2\)

Это график \(y=x^4\), который сначала сдвинули вправо на \(3\), а потом вверх на \(2\). Вершина переходит в точку \((3;2)\).

Для построения каждого графика удобно отмечать несколько характерных точек и выполнять нужный сдвиг или отражение. Тогда новый график получается быстро и без лишних вычислений.