Упражнение 255 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 86

Составим уравнение:

\(\frac{45}{x+3} - \frac{30}{x} = \frac{1}{2}\)  \(/\times 2x(x+3)\)

ОДЗ: \(x \ne 0\)  и  \(x + 3 \ne 0\)

                          \(x \ne -3\)

\(90x - 60(x+3) = x(x+3)\)

\(90x - 60x - 180 = x^2+3x\)

\(30x - 180 = x^2+3x\)

\(x^2 + 3x - 30x + 180 = 0\)

\(x^2 - 27x + 180 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = -27\),  \(c = 180\)

\( D =b^2 - 4ac=\)

\(=(-27)^{2} - 4\cdot1 \cdot 180 =\)

\(=729 - 720 = 9 > 0\) - 2 корня.

\(x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt D}{2a}\),   \( \sqrt{D} = 3. \)

\(x_1 = \frac{27 + 3}{2\cdot1}=\frac{30}{2} = 15. \)

\(x_2 = \frac{27 - 3}{2\cdot1}=\frac{24}{2} = 12. \)

1) Если \(x = 15\), то

\( \frac{30}{15} = 2\) (ч) - время первого лыжника.

\(\frac{45}{15 + 3} = \frac{45}{18}=\frac52= 2,5\) \(ч) - время второго лыжника.

\( 3 - 2,5 = 0,5\) (ч) - соответствует условию.

2) Если \(x = 12\), то

\( \frac{30}{12} = \frac{5}{2}= 2,5\) (ч) - время первого лыжника.

\(\frac{45}{12 + 3} = \frac{45}{15}=3\) (ч) - время второго лыжника.

\( 3 - 2,5 = 0,5\) (ч) - соответствует условию.

Ответ: первый лыжник мог пройти дистанцию за 2 ч или 2,5 ч.

Пояснения:

Решаем задачу с помощью уравнения.

Вводим переменную \(x\) и согласно условию составляем рациональное уравнение, учитывая то, что время рассчитывается по формуле \(t = \frac{S}{v}\), где \(S\) - пройденный путь, \(v\) - скорость движения .

Чтобы избавиться от дробей, умножаем обе части уравнения на общий знаменатель дробей, входящих в уравнение, и получаем полное квадратное уравнение, которое решаем через дискриминант. Оба полученные корня соответствуют условию задачи, значит, задача имеет два решения.