Упражнение 257 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 86

Пусть скорость катера в стоячей воде равна \(x\) км/ч.

Составим уравнение:

\( \frac{36}{x+3} + \frac{48}{x-3} = 6\) \(/\times (x+3)(x-3)\)

ОДЗ: \(x + 3 \ne 0\)  и  \(x -3 \ne 0\)

          \(x \ne -3\)         \(x \ne 3\)

\( 36(x-3) + 48(x+3) = 6(x+3)(x-3)\)

\(36x - 108 + 48x + 144 = 6(x^2 - 9)\)

\(84x + 36 = 6x^2 - 54\)

\(6x^2 - 54 - 84x - 36 = 0\)

\(6x^2 - 84x - 90 = 0\)  \(/ : 6\)

\(x^2 - 14x - 15 = 0\)

\(a= 1\),  \(b = -14\),  \(c = -15\)

\( D =b^2 - 4ac=\)

\(=(-14)^2 - 4\cdot1\cdot(-15) =\)

\(=196 + 60 = 256 > 0 \) - 2 корня.

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\),     \( \sqrt{D} = 16. \)

\(x_{1} = \frac{14 + 16}{2\cdot 1}=\frac{30}{2}=15.\)

\(x_{2} = \frac{14 - 16}{2\cdot 1}=\frac{-2}{2}=-1\) - не удовлетворяет условию.

Ответ: скорость катера в стоячей воде равна \(15\) км/ч.

Пояснения:

Скорость по течению реки равна сумме собственной скорости и скорости течения реки.

Скорость против течения реки равна разности собственной скорости и скорости течения реки.

Решаем задачу с помощью уравнения.

Вводим переменную \(x\) - собственная скорость и согласно условию составляем рациональное уравнение, учитывая то, что время рассчитывается по формуле \(t = \frac{S}{v}\), где \(S\) - пройденный путь, \(v\) - скорость движения .

Чтобы избавиться от дробей, умножаем обе части уравнения на общий знаменатель дробей, входящих в уравнение, и получаем полное квадратное уравнение, которое решаем через дискриминант. Отрицательный корень отбрасываем, так как скорость не может быть отрицательным числом.