Упражнение 257 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

Пусть скорость катера в стоячей воде равна \(x\) км/ч.

Составим уравнение:

\( \frac{36}{x+3} + \frac{48}{x-3} = 6\) \(/\times (x+3)(x-3)\)

ОДЗ: \(x + 3 \ne 0\)  и  \(x -3 \ne 0\)

          \(x \ne -3\)         \(x \ne 3\)

\( 36(x-3) + 48(x+3) = 6(x+3)(x-3)\)

\(36x - 108 + 48x + 144 = 6(x^2 - 9)\)

\(84x + 36 = 6x^2 - 54\)

\(6x^2 - 54 - 84x - 36 = 0\)

\(6x^2 - 84x - 90 = 0\)  \(/ : 6\)

\(x^2 - 14x - 15 = 0\)

\(a= 1\),  \(b = -14\),  \(c = -15\)

\( D =b^2 - 4ac=\)

\(=(-14)^2 - 4\cdot1\cdot(-15) =\)

\(=196 + 60 = 256 > 0 \) - 2 корня.

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\),     \( \sqrt{D} = 16. \)

\(x_{1} = \frac{14 + 16}{2\cdot 1}=\frac{30}{2}=15.\)

\(x_{2} = \frac{14 - 16}{2\cdot 1}=\frac{-2}{2}=-1\) - не удовлетворяет условию.

Ответ: скорость катера в стоячей воде равна \(15\) км/ч.

Пояснения:

Скорость по течению реки равна сумме собственной скорости и скорости течения реки.

Скорость против течения реки равна разности собственной скорости и скорости течения реки.

Решаем задачу с помощью уравнения.

Вводим переменную \(x\) - собственная скорость и согласно условию составляем рациональное уравнение, учитывая то, что время рассчитывается по формуле \(t = \frac{S}{v}\), где \(S\) - пройденный путь, \(v\) - скорость движения .

Чтобы избавиться от дробей, умножаем обе части уравнения на общий знаменатель дробей, входящих в уравнение, и получаем полное квадратное уравнение, которое решаем через дискриминант. Отрицательный корень отбрасываем, так как скорость не может быть отрицательным числом.

а) \(-0{,}5 \cdot \sqrt[10]{1024} = -0{,}5 \cdot \sqrt[10]{2^{10}} =\)

\(= -0{,}5 \cdot 2 = -1\)

б) \(-\frac{2}{3} \cdot \sqrt[7]{-2187} = -\frac{2}{3} \cdot \sqrt[7]{(-3)^7} =\)

\(= -\frac{2}{3} \cdot (-3) = 2\)

в) \(1{,}5 \cdot \sqrt[9]{512} = 1{,}5 \cdot \sqrt[9]{2^9}=\)

\(= 1{,}5 \cdot 2 = 3\)

г)\(\sqrt[5]{7 \dfrac{19}{32}} \cdot \sqrt{5 \dfrac{4}{9}} =\sqrt[5]{\frac{243}{32}}\cdot \sqrt{\frac{49}{9}} =\)

\(=  \sqrt[5]{\frac{3^5}{2^5}}\cdot\frac{7}{3}=\frac{3}{2} \cdot \frac{7}{3} = \frac{7}{2}=3,5\)

д) \(\sqrt[3]{-125} \cdot \sqrt[7]{0{,}1^7} =\sqrt[3]{(-5)^3} \cdot \sqrt[7]{0{,}1^7}\)

\(=(-5) \cdot 0{,}1 = -0{,}5\)

е) \(\sqrt[4]{16^{-2}} \cdot \sqrt[3]{0{,}125^3} =\)

\(= \sqrt[4]{(2^4)^{-2}} \cdot \sqrt[3]{(0{,}125)^3}=\)

\(= \sqrt[4]{(2^{-2})^{4}} \cdot 0{,}125 = 2^{-2} \cdot \frac18=\)

\(= \frac{1}{4} \cdot \frac18= \frac{1}{32}.\)

Пояснения:

В задаче используется определение арифметического корня \(n\)-й степени:

\[ \sqrt[n]{a}=b \quad \text{если} \quad b^n=a \]

Для чётных степеней результат должен быть неотрицательным.

По свойству степени:

\(\left(\dfrac{a}{b}\right)^n =\dfrac{a^n}{b^n}\).

Главный приём — представить подкоренное выражение как степень, показатель которой равен показателю корня.