Упражнение 252 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

Составим уравнение:

\( \frac{150}{x} - \frac{150}{x+10} = \frac{1}{2} \) \(/\times 2x(x+10)\)

ОДЗ: \(x \ne 0\)  и  \(x + 10 \ne 0\)

                             \(x \ne -10\)

\( 2 \cdot 150 (x+10) - 2 \cdot 150x = x(x+10)\)

\( 300 (x+10) - 300x = x^2+10x\)

\( \cancel{300x}+3000 - \cancel{300x} = x^2+10x\)

\(x^2 + 10x - 3000 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = 10\),  \(c = -3000\)

\( D =b^2 - 4ac=\)

\(=10^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-3000) = \)

\(=100 + 12000 = 12100. \)

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\),   \( \sqrt{D} = 110. \)

\( x_1 = \frac{-10 + 110}{2\cdot1}=\frac{100}{2} = 50 \)

\( x_1 = \frac{-10 - 110}{2\cdot1}=\frac{-120}{2} = -60 \) - не удовлетворяет условию.

Ответ: скорость грузового автомобиля равна \(50\) км/ч.

Пояснения:

Решаем задачу с помощью уравнения.

Вводим переменную \(x\) и согласно условию составляем рациональное уравнение, учитывая то, что время рассчитывается по формуле \(t = \frac{S}{v}\), где \(S\) - пройденный путь, \(v\) - скорость движения, разница во времени движения легкового и грузового автомобиля равна \(\frac{1}{2}\) ч.

Чтобы избавиться от дробей, умножаем обе части уравнения на общий знаменатель дробей, входящих в уравнение, и получаем полное квадратное уравнение, которое решаем через дискриминант. Отрицательный корень отбрасываем, так как скорость не может быть отрицательным числом.

а) \(x^{n+1} = x^n \cdot x\).

Так как \(x \in [0;1]\), то \(0 \le x \le 1\).

При \(x^n \ge 0\) получаем:

\[x^n \cdot x \le x^n \cdot 1.\]

Значит,

\[x^{n+1} \le x^n.\]

б) \(x^{n+1} = x^n \cdot x\).

Так как \(x \in (1;+\infty)\), то \(x > 1\).

При \(x^n > 0\) получаем:

\[x^n \cdot x > x^n \cdot 1.\]

Значит,

\[x^{n+1} > x^n.\]

Пояснения:

Использованные правила:

\[x^{n+1} = x^n \cdot x.\]

Если обе части неравенства умножить на одно и то же неотрицательное число, знак неравенства сохраняется.

Если обе части неравенства умножить на одно и то же положительное число, знак неравенства сохраняется.

Рассмотрим пункт а).

Нужно доказать, что при \(x \in [0;1]\) следующая степень не больше предыдущей:

\[x^{n+1} \le x^n.\]

Представим степень \(x^{n+1}\) как произведение:

\[x^{n+1} = x^n \cdot x.\]

Так как \(x\) находится в промежутке от \(0\) до \(1\), множитель \(x\) не больше единицы.

Кроме того, при \(x \ge 0\) и натуральном \(n\) имеем:

\[x^n \ge 0.\]

Если неотрицательное число \(x^n\) умножить на число, не превосходящее \(1\), то результат не станет больше самого \(x^n\):

\[x^n \cdot x \le x^n \cdot 1 = x^n.\]

Следовательно,

\[x^{n+1} \le x^n.\]

Теперь рассмотрим пункт б).

Нужно доказать, что при \(x > 1\) следующая степень больше предыдущей:

\[x^{n+1} > x^n.\]

Снова представим степень \(x^{n+1}\) в виде:

\[x^{n+1} = x^n \cdot x.\]

Так как \(x > 1\), множитель \(x\) больше единицы.

При этом \(x^n > 0\), потому что положительное число в натуральной степени остаётся положительным.

Значит, при умножении положительного числа \(x^n\) на число, большее \(1\), результат увеличивается:

\[x^n \cdot x > x^n \cdot 1 = x^n.\]

Следовательно,

\[x^{n+1} > x^n.\]

Итак, на отрезке \([0;1]\) степени числа при увеличении показателя не возрастают, а при \(x > 1\) степени числа при увеличении показателя возрастают.