Вернуться к содержанию учебника
Знаменатель обыкновенной дроби больше её числителя на 3. Если числитель дроби увеличить в 3 раза, а затем уменьшить на 7, а знаменатель увеличить в 2 раза, а затем уменьшить на 11, то получится дробь, обратная данной. Найдите эту дробь.
Вспомните:
Пусть числитель дроби равен \(x\). Тогда знаменатель равен \( x + 3\) и исходная дробь \( \frac{x}{x+3}\). Числитель новой дроби \( 3x - 7\), а знаменатель новой дроби
\( 2(x+3) - 11 = 2x + 6 - 11 =\)
\(=2x - 5\).
Известно, что новая дробь обратна данной дроби.
Составим уравнение:
\( \frac{3x - 7}{2x - 5} = \frac{x + 3}{x}\) \(/\times x(2x - 5)\)
ОДЗ: \(x \ne 0\) и \(2x - 5 \ne 0\)
\(2x \ne 5\)
\(x \ne \frac52\)
\(x \ne 2,5\)
\(x(3x - 7) = (2x - 5)(x + 3)\)
\(3x^2 - 7x = 2x^2 + 6x - 5x - 15\)
\(3x^2 - 7x = 2x^2 + x - 15\)
\(3x^2 - 7x - 2x^2 - x + 15 = 0\)
\(x^2 - 8x + 15 = 0\)
\(a = 1\), \(b = -8\), \(c = 15\)
\(D = b^2 - 4ac = \)
\(=(-8)^2 - 4\cdot1\cdot15 =\)
\(=64 - 60 = 4 > 0\) - 2 корня.
\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\), \(\sqrt D = 2\).
\(x_{1} = \frac{8 + 2}{2\cdot1} = \frac{10}{2} = 5.\)
\(x_{2} = \frac{8 - 2}{2\cdot1} = \frac{6}{2} = 3.\)
1) Если числитель исходной дроби \(x = 3\), то знаменатель
\(3 + 3 = 6\).
\(\frac{3}{6} = \frac12\) - исходная дробь.
\(3\cdot 3 - 7 = 2\) - числитель новой дроби.
\(2\cdot 3 - 5 = 1\) - знаменатель новой дроби.
\(\frac{2}{1}\) - новая дробь.
\(\frac{1}{2}\) и \(\frac21\) - взаимно обратные дроби.
2) Если числитель исходной дроби \(x = 5\), то знаменатель
\(5 + 3 = 8\).
\(\frac58\) - исходная дробь.
\(5\cdot 3 - 7 = 8\) - числитель новой дроби.
\(2\cdot5 - 5 = 5\) - знаменатель новой дроби.
\(\frac{8}{5}\) - новая дробь.
\(\frac{5}{8}\) и \(\frac{8}{5}\) - взаимно обратные дроби.
Ответ: \(\frac{3}{6} = \frac{1}{2}\) или \(\frac{5}{8}\).
Пояснения:
Решаем задачу с помощью уравнения.
Вводим переменную и составляем по условию задачи рациональное уравнение. Чтобы избавиться от дробей, умножаем обе части уравнения на общий знаменатель дробей, входящих в уравнение, и получаем полное квадратное уравнение, которое решаем через дискриминант. Получаем два допустимых положительных решения.
Вернуться к содержанию учебника