Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№251 учебника 2023-2026 (стр. 86):
Знаменатель обыкновенной дроби больше её числителя на 3. Если числитель дроби увеличить в 3 раза, а затем уменьшить на 7, а знаменатель увеличить в 2 раза, а затем уменьшить на 11, то получится дробь, обратная данной. Найдите эту дробь.
№251 учебника 2014-2022 (стр. 73):
Даны функции \(f(x) = x^7\) и \(g(x) = x^{10}\). Сравните с нулем:
а) \(f(25) - f(12)\);
б) \(f(-30) - f(-20)\);
в) \(f(0) \cdot f(60)\);
г) \(g(17) - g(5)\);
д) \(g(-9) \cdot g(-17)\);
е) \(g(38) - g(0)\).
№251 учебника 2023-2026 (стр. 86):
Вспомните:
№251 учебника 2014-2022 (стр. 73):
№251 учебника 2023-2026 (стр. 86):
Пусть числитель дроби равен \(x\). Тогда знаменатель равен \( x + 3\) и исходная дробь \( \frac{x}{x+3}\). Числитель новой дроби \( 3x - 7\), а знаменатель новой дроби
\( 2(x+3) - 11 = 2x + 6 - 11 =\)
\(=2x - 5\).
Известно, что новая дробь обратна данной дроби.
Составим уравнение:
\( \frac{3x - 7}{2x - 5} = \frac{x + 3}{x}\) \(/\times x(2x - 5)\)
ОДЗ: \(x \ne 0\) и \(2x - 5 \ne 0\)
\(2x \ne 5\)
\(x \ne \frac52\)
\(x \ne 2,5\)
\(x(3x - 7) = (2x - 5)(x + 3)\)
\(3x^2 - 7x = 2x^2 + 6x - 5x - 15\)
\(3x^2 - 7x = 2x^2 + x - 15\)
\(3x^2 - 7x - 2x^2 - x + 15 = 0\)
\(x^2 - 8x + 15 = 0\)
\(a = 1\), \(b = -8\), \(c = 15\)
\(D = b^2 - 4ac = \)
\(=(-8)^2 - 4\cdot1\cdot15 =\)
\(=64 - 60 = 4 > 0\) - 2 корня.
\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\), \(\sqrt D = 2\).
\(x_{1} = \frac{8 + 2}{2\cdot1} = \frac{10}{2} = 5.\)
\(x_{2} = \frac{8 - 2}{2\cdot1} = \frac{6}{2} = 3.\)
1) Если числитель исходной дроби \(x = 3\), то знаменатель
\(3 + 3 = 6\).
\(\frac{3}{6} = \frac12\) - исходная дробь.
\(3\cdot 3 - 7 = 2\) - числитель новой дроби.
\(2\cdot 3 - 5 = 1\) - знаменатель новой дроби.
\(\frac{2}{1}\) - новая дробь.
\(\frac{1}{2}\) и \(\frac21\) - взаимно обратные дроби.
2) Если числитель исходной дроби \(x = 5\), то знаменатель
\(5 + 3 = 8\).
\(\frac58\) - исходная дробь.
\(5\cdot 3 - 7 = 8\) - числитель новой дроби.
\(2\cdot5 - 5 = 5\) - знаменатель новой дроби.
\(\frac{8}{5}\) - новая дробь.
\(\frac{5}{8}\) и \(\frac{8}{5}\) - взаимно обратные дроби.
Ответ: \(\frac{3}{6} = \frac{1}{2}\) или \(\frac{5}{8}\).
Пояснения:
Решаем задачу с помощью уравнения.
Вводим переменную и составляем по условию задачи рациональное уравнение. Чтобы избавиться от дробей, умножаем обе части уравнения на общий знаменатель дробей, входящих в уравнение, и получаем полное квадратное уравнение, которое решаем через дискриминант. Получаем два допустимых положительных решения.
№251 учебника 2014-2022 (стр. 73):
а) \(f(25) - f(12) > 0\)
\(25>12, 25^7 >12^7, \)
\(f(25) > f(12).\)
б) \(f(-30) - f(-20) < 0\)
\(-30<-20, (-30)^7 < (-20)^7,\)
\( f(-30) < f(-20).\)
в) \(f(0) \cdot f(60) = 0\)
\(f(0) \cdot f(60) = 0^7 \cdot 60^7 = 0 \cdot 60^7 = 0\)
г) \(g(17) - g(5) > 0\)
\(17>15, 17^{10}> 5^{10},\)
\(g(17) > g(5) \)
д) \(g(-9) \cdot g(-17) > 0\)
\(10\) четная степень \( (-9)^{10}>0, (-17)^{10}>0\)
\(g(-9)>0, g(-17)>0\)
е) \(g(38) - g(0) = 38^{10} - 0^{10} = 38^{10} > 0\)
\(38>0, 0=0, 38^{10}>0, 0^{10}=0,\)
\( g(38)>0,g(0) =0\)
Пояснения:
Основные правила:
1. Чётная степень:
\[ a^{2n} \ge 0 \text{ для любого } a \]
2. Нечётная степень:
\[ (-a)^{2n+1} = -a^{2n+1} \]
3. Если \(a > b > 0\), то:
\[ a^n > b^n \]
4. Ноль в степени:
\[ 0^n = 0 \text{ при } n > 0 \]
а) Функция \(f(x)=x^7\) возрастает, так как степень нечётная. Поэтому:
\[ 25 > 12 \Rightarrow 25^7 > 12^7 \Rightarrow разность > 0 \]
б) Для отрицательных чисел при нечётной степени сохраняется знак:
\( (-30)^7 < (-20)^7\) \(\Rightarrow\) разность отрицательная .
в) Любое число, умноженное на ноль, даёт ноль.
г) \(g(x)=x^{10}\) — чётная степень, но при положительных \(x\) функция возрастает:
\[ 17 > 5 \Rightarrow 17^{10} > 5^{10} \]
д) Чётная степень делает оба значения положительными:
\[ (-9)^{10} > 0,\; (-17)^{10} > 0 \Rightarrow произведение > 0 \]
е) \(g(0)=0\), а \(38^{10} > 0\), значит разность положительная.
Вернуться к содержанию учебника