Упражнение 254 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

Составим уравнение:

\( \frac{80}{x} - \frac{80}{x+20} = 2\)   \(/\times x(x+20)\)

ОДЗ: \(x \ne 0\)  и  \(x + 20 \ne 0\)

                          \(x \ne -20\)

\( 80(x+20) - 80x = 2x(x+20)\)

\(\cancel{80x} + 1600 - \cancel{80x} = 2x^2 + 40x\)

\(2x^2 + 40x - 1600 = 0\)     \(/ : 2\)

\(x^2 + 20x - 800 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = 20\),  \(c = -80\)

\( D = b^2 - 4ac =\)

\(=20^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-800) =\)

\(=400 + 3200 = 3600 > 0\) - 2 корня.

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\),     \( \sqrt{D} = 60. \)

\(x_{1} = \frac{-20 + 60}{2\cdot 1}=\frac{40}{2}=20.\)

\(x_{1} = \frac{-20 - 60}{2\cdot 1}=\frac{-80}{2}=-40\) - не удовлетворяет условию.

Ответ: скорость велосипедиста равна \(20\) км/ч.

Пояснения:

Решаем задачу с помощью уравнения.

Вводим переменную \(x\) и согласно условию составляем рациональное уравнение, учитывая то, что время рассчитывается по формуле \(t = \frac{S}{v}\), где \(S\) - пройденный путь, \(v\) - скорость движения.

Чтобы избавиться от дробей, умножаем обе части уравнения на общий знаменатель дробей, входящих в уравнение, и получаем полное квадратное уравнение, которое решаем через дискриминант. Отрицательный корень отбрасываем, так как скорость не может быть отрицательным числом.

\(y = x^n, n\in N\)

а) \(A(2; 5)\):

\(5=2^n\)

\(2^1 = 2,\; 2^2 = 4,\; 2^3 = 8\)

\(2^2<5<2^3\)

\(5\) не является степенью числа \(2\)

Ответ: не существует.

б) \(B(\sqrt{3}; 81)\):

\(81=(\sqrt{3})^n\)

\(3^4=(3^{\frac12})^n\)

\(3^4=3^{\frac n2}\)

\(\frac n2 = 4\)

\(n = 8\)

Ответ: существует, \(n = 8.\)

в) \(C(-5; 415)\):

\(415=(-5)^n\)

\(5^3 = 125,\; 5^4 = 625\)

\(5^3<415<5^4\)

\(415\) не является степенью числа \(5\)

Ответ: не существует.

г) \(D(-7; -343)\):

\(-343=(-7)^n\)

\((- 7)^3=(-7)^n\)

\(n = 3.\)

Ответ: существует, \(n = 3.\)

Пояснения:

Основные правила:

1. Представление числа в виде степени:

\( a^n = b \Rightarrow\) нужно проверить, является ли \( b \) степенью \( a \)

2. Свойство степеней:

\[ (a^m)^n = a^{mn} \]

3. Корень в виде степени:

\[ \sqrt{a} = a^{\frac 12} \]

4. Чётность степени:

\[ (-a)^{2n} > 0,\quad (-a)^{2n+1} < 0 \]

а) Проверяем, можно ли представить \(5\) как степень двойки. Это невозможно, значит натурального \(n\) нет.

б) Переводим всё к основанию \(3\):

\[ \sqrt{3} = 3^{\frac12}, \quad 81 = 3^4 \]

Получаем:

\[ (3^{\frac12})^n = 3^4 \Rightarrow 3^{\frac n2} = 3^4 \]

Отсюда \(\frac n2 = 4\), значит \(n = 8\).

в) Проверяем, можно ли получить \(415\) как степень числа \(5\). Ближайшие степени — \(125\) и \(625\), значит решения нет.

г) Представляем:

\[ 343 = 7^3 \]

Чтобы получить отрицательное число, степень должна быть нечётной:

\[ (-7)^3 = -343 \]

Следовательно, \(n = 3\).