Упражнение 258 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 87

Пусть скорость течения равна \(x\) км/ч.

Составим уравнение:

\( \frac{60}{10 - x}-\frac{60}{x} = 5 \) \(/\times x(10-x)\)

ОДЗ: \(x \ne 0\)  и  \(10 - x \ne 0\)

                          \(x \ne 10\)

\(60x - 60(10-x)=5x(10 -x)\)

\(60x - 600 + 60x= 50x -5x^2\)

\(120x - 600 - 50x + 5x^2 =0\)

\(5x^2 + 70x - 600 = 0\)  \( / : 5\)

\(x^2 + 14x - 120 = 0\) 

\(a = 1\),  \(b = 14\),  \(c = -120\)

\( D=b^2 -4ac =\)

\(=14^2 - 4\cdot1\cdot(-120) =\)

\(=196 + 480 = 676 > 0\) - 2 корня.

\(x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt D}{2a}\),   \( \sqrt{D} = 26. \)

\(x_1 = \frac{-14 + 26}{2\cdot1}=\frac{12}{2} = 6. \)

\(x_2 = \frac{-14 - 26}{2\cdot1}=\frac{-40}{2} = -20 \) - не удовлетворяет условию.

1) \(6\) (км/ч) - скорость течения.

2) \( 10 + 6 = 16\) (км/ч) - скорость лодки по течению.

Ответ: скорость лодки по течению равна 16 км/ч.

Пояснения:

Скорость по течению реки равна сумме собственной скорости и скорости течения реки.

Скорость против течения реки равна разности собственной скорости и скорости течения реки.

Решаем задачу с помощью уравнения.

Вводим переменную \(x\) - скорость течения реки и согласно условию составляем рациональное уравнение, учитывая то, что время рассчитывается по формуле \(t = \frac{S}{v}\), где \(S\) - пройденный путь, \(v\) - скорость движения .

Чтобы избавиться от дробей, умножаем обе части уравнения на общий знаменатель дробей, входящих в уравнение, и получаем полное квадратное уравнение, которое решаем через дискриминант. Отрицательный корень отбрасываем, так как скорость не может быть отрицательным числом. Затем, прибавляя к собственной скорости лодки скорость течения реки, находим скорость лодки по течению реки.