Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№77 учебника 2023-2026 (стр. 28):
Если радиус круга увеличить в 2 раза, а затем уменьшить на 1 см, то его площадь увеличится на \( \pi \,\text{см}^2 \). Найдите радиус круга.
№77 учебника 2014-2022 (стр. 29):
Разложите на множители квадратный трёхчлен:
а) \(\;2x^{2}-2x+\frac{1}{2}\);
б) \(\;-9x^{2}+12x-4\);
в) \(\;16a^{2}+24a+9\);
г) \(\;0{,}25\,m^{2}-2m+4\).
№77 учебника 2023-2026 (стр. 28):
Вспомните:
№77 учебника 2014-2022 (стр. 29):
Вспомните:
№77 учебника 2023-2026 (стр. 28):
\(S_1=\pi r^2\) - начальная площадь.
\(S_2=\pi (2r-1)^2\) - начальная площадь.
Запишем уравнение:
\(\pi(2r - 1)^2 - \pi r^2 = \pi\) \(\color{red}|:\pi\)
\((2r - 1)^2 - r^2 = 1\)
\(4r^2 - 4r + 1 - r^2 = 1\)
\(3r^2 - 4r + 1 = 1\)
\(3r^2 - 4r = 0\)
\(r(3r - 4) = 0\)
\(r= 0\) или \(3r - 4 = 0\)
\(3r=4\)
\(r=\frac{4}{3}\)
\(r=1\frac{1}{3}\)
Корень \(r= 0\) не подходит, \(\Rightarrow \) \(r=1\frac{1}{3}\) см.
Ответ: \(r=1\frac{1}{3}\) см.
Пояснения:
Формула площади круга:
\[ S = \pi r^2 \]
По условию радиус сначала увеличивают в 2 раза, затем уменьшают на \(1\) см, то есть новый радиус:
\[ r_{\text{нов}} = 2r - 1 \]
Площадь увеличилась на \( \pi \), поэтому разность площадей равна \( \pi \):
\[ \pi(2r - 1)^2 - \pi r^2 = \pi \]
Делим обе части на \( \pi \):
\[ (2r - 1)^2 - r^2 = 1 \]
Далее последовательно раскрываем скобки и приводим подобные члены, что приводит нас к квадратному уравнению:
\[ 3r^2 - 4r = 0 \]
Выносим общий множитель:
\[ r(3r - 4) = 0 \]
Радиус не может быть нулём, поэтому:
\[ r =1 \frac{1}{3} \text{ см} \]
№77 учебника 2014-2022 (стр. 29):
а) \(2x^{2}-2x+\frac12=0\) \(/\times2\)
\(4x^{2}-4x+1=0\)
\(a = 4\), \(b = -4\), \(c = 1\)
\(D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot4\cdot1=\)
\(=16-16=0\) - один корень.
\(x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-\cancel4^1}{2\cdot\cancel4_1}=\frac12=0,5\).
\(2x^{2}-2x+\frac12= 2(x-0,5)^2.\)
б) \(-9x^{2}+12x-4=0\) \(/\times(-1)\)
\(9x^{2}-12x+4=0\)
\(a =9 \), \(b = -12\), \(c = 4\)
\(D = b^2 - 4ac =(-12)^2-4\cdot9\cdot4=\)
\(=144-144 =0\) - один корень.
\(x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-12}{2\cdot9}=\frac{12}{18}=\frac23\).
\(-9x^{2}+12x-4=-9(x-\frac23)^2\)
в) \(16a^{2}+24a+9=0\)
\(a = 16\), \(b = 24\), \(c = 9\)
\(D = b^2 - 4ac=24^2 - 4\cdot16\cdot9=\)
\(=576 - 576 = 0\) - один корень.
\(a=-\frac{b}{2a}=-\frac{\cancel{24} ^3}{2\cdot\cancel{16}_2}=-\frac34\)
\(16a^{2}+24a+9=16(a+\frac34)\).
г) \(0{,}25\,m^{2}-2m+4=0\) \(/\times(4)\)
\(m^{2}-8m+16=0\)
\(a = 1\), \(b = -8\), \(c = 16\)
\(D = b^2 - 4ac=(-8)^2 -4\cdot1\cdot16 =\)
\(=64 - 64 = 0\) - один корень.
\(m=-\frac{b}{2a}=-\frac{-8}{2\cdot1}=4\)
\(0{,}25\,m^{2}-2m+4=0,25(m-4)^2\).
Пояснения:
Использованные приемы:
1) Если квадратный трехчлен
\(ax^2 + bx+c\) имеет корни, то его можно разложить на множители
\(ax^2 + bx+c=a(x - x_1)(x-x_2)\),
где \(x_1\) и \(x_2\) - корни квадратного трёхчлена.
2) Корни уравнения не изменяются, если обе его части разделить или умножить на одно и то же число.
3) При решении уравнений сначала находим дискриминант \(D = b^2 - 4ac\), чтобы определить количество корней. При \(D=0\) уравнение имеет один двойной корень, обозначим его \(x_0\), то есть \(x_1 = x_2\), тогда разложение квадратного трехчлена на множители можно записать так:
\(ax^2 + bx+c=a(x - x_0)^2\),
4) Корни квадратных уравнений при \(D = 0\) находим по формуле:
\(x= -\frac{b}{2a}\).
Вернуться к содержанию учебника