Упражнение 76 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

 \(\bold{1450}: 16-8 = 8\)

 \(\bold{1706}: 100 - 16 = 84\)

 \(\bold{1949}: 2037-100=1937\)

 \(\bold{1957}: 7480-2037=5443\)

 \(\bold{1961}: 100 000-7480 =\)

\(=92520 \approx 9,2\cdot10^4  \)

 \(\bold{1973}: 1000 000-100 000=\)

\(=900 000 \approx 9\cdot10^5  \)

 \(\bold{1985}: 100 000 000-1000 000 =\)

\(=99000000  \approx 9,9\cdot10^7  \)

 \(\bold{2020}: 50 000 000 000 000- 100 000 000 =\)

\(=49 999 900 000 000  \approx 50\cdot10^{12}  \)

 \(\bold{2021}: 62,8\cdot10^{12} - 50\cdot10^{12} =12,8\cdot10^{12}\)

Пояснения:

Чтобы найти прирост числа цифр, вычитаем из значения числа цифр после запятой, которые известны в данном году, вычесть число цифр, которые были найдены в предыдущий период.

а) \(3x^{2}-24x+21=0\)   \(/ :3\)

\(x^2 - 8x + 7 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = -8\),  \(c = 7\)

\(D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4\cdot1\cdot7 = \)

\(=64 - 28 = 36 >0\) - 2 корня.

По теореме, обратной теореме Виета:

\(x_1 + x_2 = 8\)  и  \(x_1 \cdot x_2 = 7\).

\(x_1 = 7\),  \(x_2 = 1\).

\(3x^{2}-24x+21=3(x-1)(x-7)\).

б) \(5x^{2}+10x-15=0\)   \(/ :5\)

\(x^{2}+2x-3=0\)

\(a = 1\),  \(b = 2\),  \(c = -3\)

\(D = b^2 - 4ac =2^2 - 4\cdot1\cdot(-3)=\)

\(=4 + 12 =16 > 0\) - 2 корня.

По теореме, обратной теореме Виета:

\(x_1 + x_2 = -2\)  и  \(x_1 \cdot x_2 = -3\).

\(x_1 = -3\),  \(x_2 = 1\).

\(5x^{2}+10x-15=5(x-1)(x+3)\).

в) \(\frac16x^{2}+\frac12x+\frac13=0\)   \(/\times6\)

\(x^2 +3x +2 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = 3\),  \(c = 2\)

\(D = b^2 - 4ac =\)

\(=3^2 - 4\cdot1\cdot2=\)

\(=9 - 8 = 1> 0\) - 2 корня.

По теореме, обратной теореме Виета:

\(x_1 + x_2 = -3\)  и  \(x_1 \cdot x_2 = 2\).

\(x_1 = -2\),  \(x_2 = -1\).

\(\frac16x^{2}+\frac12x+\frac13=\frac16(x+1)(x+2)\).

г) \(x^{2}-12x+20=0\)

\(a = 1\),  \(b = -12\),  \(c = 20\)

\(D = b^2 - 4ac =\)

\(=(-12)^2 - 4\cdot1\cdot20=\)

\(=144 - 80 = 64 > 0\) - 2 корня.

По теореме, обратной теореме Виета:

\(x_1 + x_2 = 12\)  и  \(x_1 \cdot x_2 = 20\).

\(x_1 = 10\),  \(x_2 = 2\).

\(x^{2}-12x+20=(x-10)(x-2)\).

д) \(-y^{2}+16y-15=0\)   \(/\times(-1)\)

\(y^{2}-16y+15=0\)

\(a = 1\),  \(b = -16\),  \(c = 15\)

\(D = b^2 - 4ac =\)

\(=(-16)^2 - 4\cdot1\cdot15=\)

\(=256 -60 = 196 > 0\) - 2 корня.

По теореме, обратной теореме Виета:

\(y_1 + y_2 = 16\)  и  \(y_1 \cdot y_2 = 15\).

\(y_1 = 15\),  \(y_2 = 1\).

\(-y^{2}+16y-15=-(y-1)(y-15)\).

е) \(-x^{2}-8x+9=0\)    \(/\times(-1)\)

\(x^{2}+8x-9=0\)

\(a = 1\),  \(b = 8\),  \(c = -9\)

\(D = b^2 - 4ac =8^2 - 4\cdot1\cdot(-9)=\)

\(=64 + 36 = 100> 0\) - 2 корня.

По теореме, обратной теореме Виета:

\(x_1 + x_2 = -8\)  и  \(x_1 \cdot x_2 = -9\).

\(x_1 = -9\),  \(x_2 = 1\).

\((-x^{2}-8x+9=-(x+9)(x-1)\).

ж) \(2x^{2}-5x+3=0\)

\(a = 2\),  \(b = -5\),  \(c = 3\)

\(D = b^2 - 4ac =(-5)^2 - 4\cdot2\cdot3=\)

\(=25 -24 = 1>0\) - 2 корня.

\(x_{1,2}= \frac{-b\pm\sqrt D}{2a}\)

\(x_{1}= \frac{-(-5)+\sqrt 1}{2\cdot2}=\frac{5+1}{4}=\)

\(=\frac{6}{4} = \frac{3}{2} = 1,5\).

\(x_{2}= \frac{-(-5)-\sqrt 1}{2\cdot2}=\frac{5-1}{4}=\)

\(=\frac{4}{4} =1\).

\(2x^{2}-5x+3=\)

\(=2(x - 1,5)(x - 1)=\)

\(=2x - 3)(x - 1)\).

з) \(5y^{2}+2y-3=0\)

\(a = 5\),  \(b = 2\),  \(c = -3\)

\(D = b^2 - 4ac =2^2 -4\cdot5\cdot(-3)=\)

\(=4 + 60 = 64>0\) - 2 корня.

\(y_{1,2}= \frac{-b\pm\sqrt D}{2a}\)

\(y_{1}= \frac{-2+\sqrt {64}}{2\cdot5}=\frac{-2+8}{10}=\)

\(=\frac{6}{10}=0,6\),

\(y_{2}= \frac{-2-\sqrt {64}}{2\cdot5}=\frac{-2-8}{10}=\)

\(=\frac{-10}{10}=-1\).

\(5y^{2}+2y-3=5(y-0,6)(y+1)=\)

\(=(5y - 3)(y+1)\).

и) \(-2x^{2}+5x+7=0\)    \(/\times(-1)\)

\(2x^{2}-5x-7=0\)

\(a = 2\),  \(b = -5\),  \(c = -7\)

\(D = b^2 - 4ac =\)

\(=(-5)^2 - 4\cdot2\cdot(-7)=\)

\(=25 +56 = 81>0\) - 2 корня.

\(x_{1,2}= \frac{-b\pm\sqrt D}{2a}\)

\(x_{1}= \frac{-(-5)+\sqrt {81}}{2\cdot2}=\frac{5+9}{4}=\)

\(=\frac{14}{4}=\frac{7}{2} = 3,5\),

\(x_{2}= \frac{-(-5)-\sqrt {81}}{2\cdot2}=\frac{5-9}{4}=\)

\(=\frac{-4}{4}=-1\).

\(-2x^{2}+5x+7=\)

\(=-2(x-3,5)(x+1)=\)

\(=-(2x-7)(x+1)\).

Пояснения:

Использованные приемы:

1) Если квадратный трехчлен

\(ax^2 + bx+c\) имеет корни, то его можно разложить на множители

\(ax^2 + bx+c=a(x - x_1)(x-x_2)\),

где  \(x_1\) и \(x_2\) - корни квадратного трёхчлена.

2) Корни уравнения не изменяются, если обе его части разделить или умножить на одно и то же число.

3) При решении уравнений сначала находим дискриминант \(D = b^2 - 4ac\), чтобы определить количество корней. При \(D>0\) уравнение имеет два корня.

4) Корни приведенных квадратных уравнений, а также уравнений, которые можно привести к приведенным уравнениям с целочисленными коэффициентами, находим подбором с помощью теоремы, обратной теореме Виета:

\(x_1 + x_2 = -b\)  и  \(x_1 \cdot x_2 = c\).

5) Корни неприведенных квадратных уравнений находим по основным формулам корней:

\(x_{1,2}= \frac{-b\pm\sqrt D}{2a}\).

6) В разложении коэффициент \(а\) можно внести в какую-либо скобку для получения целочисленных выражений.