Упражнение 74 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(\begin{cases} 3y - 2x = 10,   /\times7 \\ 7x + 5y = 27  /\times2 \end{cases}\)

\(\begin{cases} -14x + 21y = 70,  \\ 14x + 10y = 54 \end{cases}\) \((+)\)

\(\begin{cases} 31y = 124,   / : 31 \\ 7x + 5y = 27 \end{cases}\)

\(\begin{cases} y = 4, \\ 7x = 27 -  5y \end{cases}\)

\(\begin{cases} y = 4, \\ 7x = 27 -  5\cdot4 \end{cases}\)

\(\begin{cases} y = 4, \\ 7x =7  / : 7 \end{cases}\)

\(\begin{cases} y = 4, \\ x =1. \end{cases}\)

Ответ: \((1;4)\).

б) \(\begin{cases} 0,4x - 0,2y = 0,4,  / :(-0,4) \\ x + 11y = 12,5 \end{cases}\)

\(\begin{cases} -x + 0,5y = -1, \\ x + 11y = 12,5 \end{cases}\)  \((+)\)

\(\begin{cases} 11,5y = 11,5,   / : 11,5 \\ x + 11y = 12,5 \end{cases}\) 

\(\begin{cases} y = 1, \\ x = 12,5 - 11y \end{cases}\) 

\(\begin{cases} y = 1, \\ x = 12,5 - 11\cdot1 \end{cases}\) 

\(\begin{cases} y = 1, \\ x = 1,5 \end{cases}\) 

Ответ: \((1,5; 1)\).

Пояснения:

В обоих случаях при решении системы используется метод сложения: применяя свойства уравнений, делаем коэффициенты перед какой-либо из переменных противоположными и сложив уравнения системы, получаем линейное уравнение с одной переменной, из которого находим одну из переменных, затем, подставляя значение этой переменной в какое-либо из уравнений системы, находим вторую переменную.

а) \(3\,(x+4)^2=10x+32 \)

\(3\,(x^2+8x+16)=10x+32\)

\(3x^2+24x+48-10x-32=0 \)

\(3x^2+14x+16=0\)

\(a = 3\),  \(b = 14\),  \(c = 16\)

\(D=b^2-4ac=14^2-4\cdot3\cdot16=\)

\(=196-192=4\),    \(\sqrt D = 2\).

\(x_{1,2}= \frac{-b\pm\sqrt D}{2a}\)

\(x_1=\dfrac{-14+2}{6}=\dfrac{-12}{6}=-2\),

\(x_2=\dfrac{-14-2}{6}=\dfrac{-16}{6}=\dfrac{-8}{3}=-2\dfrac{2}{3}\),

Ответ: \(-2;   -\dfrac{8}{3}.\)

б) \(31x+77=15\,(x+1)^2\)

\(31x+77=15\,(x^2+2x+1) \)

\(31x+77=15x^2+30x+15) \)

\(-15x^2+31x-30x+77-15=0 \)

\(-15x^2+x+62=0\)   \(/\times(-1)\)

\(15x^2-x-62=0\)

\(a = 15\),  \(b = -1\),  \(c = -62\)

\(D=b^2-4ac=\)

\(=(-1)^2-4\cdot15\cdot(-62)=\)

\(=1+3720=3721\),   \(\sqrt D = 61\).

\(x_{1,2}= \frac{-b\pm\sqrt D}{2a}\)

\(x_1=\dfrac{-(-1)+61}{2\cdot15}=\dfrac{62}{30}=\dfrac{31}{15}=2\dfrac{1}{15}\),

\(x_2=\dfrac{-(-1)-61}{2\cdot15}=\dfrac{-60}{30}=-2\).

Ответ: \(\dfrac{31}{15};  -2.\)

Пояснения:

Используемые формулы и приёмы:

— Квадрат суммы двух выражений:

\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\).

— Распределительное свойство умножения:

\(k(a + b + c) = ka + kb + kc\).

— Приведение к нулю: перенос всех членов в левую часть и приведение подобных.

— Дискриминант квадратного уравнения \(ax^2+bx+c=0\):

\(D=b^2-4ac\);

корни \(x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt D}{2a}\).