Вернуться к содержанию учебника
Упростите выражение:
а) \( \left(\frac{a-3}{a^{2}-3a+9}-\frac{6a-18}{a^{3}+27}\right):\frac{5a-15}{4a^{3}+108}; \)
б) \( \frac{ab^{2}-a^{2}b}{a+b}\cdot \frac{a+\frac{ab}{a-b}}{a-\frac{ab}{a+b}}. \)
Вспомните:
а) \( \left(\frac{a-3}{a^{2}-3a+9} \overset{ {\color{red}{1}} }{-} \frac{6a-18}{a^{3}+27}\right) \overset{ {\color{red}{2}} }{:} \frac{5a-15}{4a^{3}+108}=\frac{4(a-3)}{5}\)
1) \(\frac{a-3}{a^{2}-3a+9} - \frac{6a-18}{a^{3}+27}=\)
\(= \frac{a-3}{a^{2}-3a+9} ^{\color{blue}{\backslash a+3}} -\frac{6a-18}{(a+3)(a^{2}-3a+9)}=\)
\(=\frac{(a-3)(a+3)-(6a-18)}{(a+3)(a^{2}-3a+9)}= \)
\(=\frac{a^2 - 9 - 6a + 18}{(a+3)(a^{2}-3a+9)}= \)
\(=\frac{a^2 - 6a + 9}{(a+3)(a^{2}-3a+9)}= \)
\(=\frac{(a-3)^2}{a^3+27}. \)
2) \( \frac{(a-3)^{2}}{a^3+27} : \frac{5a-15}{4a^{3}+108}=\)
\(= \frac{(a-3)^{2}}{a^3+27} \cdot \frac{4a^{3}+108}{5a-15}=\)
\(= \frac{(a-3)^{\cancel2}}{\cancel{a^3+27}} \cdot \frac{4\cancel{(a^{3}+27)}}{5\cancel{(a-3)}}=\)
\(=\frac{4(a-3)}{5}.\)
б) \( \frac{ab^{2}-a^{2}b}{a+b}\cdot \frac{a+\frac{ab}{a-b}}{a-\frac{ab}{a+b}}= \)
\( =\frac{ab^{2}-a^{2}b}{a+b} \overset{ {\color{red}{4}} }{\cdot} \left(\left(a \overset{ {\color{red}{1}} }{+} \frac{ab}{a-b}\right) \overset{ {\color{red}{3}} }{:} \left(a \overset{ {\color{red}{2}} }{-} \frac{ab}{a+b}\right)\right) =-ab \)
1) \(a ^{\color{blue}{\backslash a-b}} +\frac{ab}{a-b}=\)
\(=\frac{a(a-b)+ab}{a-b}=\)
\(=\frac{a^2-\cancel{ab}+\cancel{ab}}{a-b}=\frac{a^2}{a-b}.\)
2) \(a ^{\color{blue}{\backslash a+b}} -\frac{ab}{a+b}= \)
\(=\frac{a(a+b)-ab}{a+b}= \)
\(=\frac{a^2+\cancel{ab}-\cancel{ab}}{a+b}=\frac{a^2}{a+b}.\)
3) \(\frac{a^2}{a-b} : \frac{a^2}{a+b}=\)
\(=\frac{\cancel{a^2}}{a-b} \cdot \frac{a+b}{\cancel{a^2}}=\frac{a+b}{a-b}.\)
4) \(\frac{ab^{2}-a^{2}b}{a+b}\cdot\frac{a+b}{a-b}=\)
\(=\frac{-ab\cancel{(a - b)}}{\cancel{a+b}}\cdot\frac{\cancel{a+b}}{\cancel{a-b}}=-ab.\)
Пояснения:
Используемые правила:
— порядок действий:
если в выражении есть скобки, то сначала выполняют действия в скобках, а затем за скобками (также в пункте б) учли то, что дробь можно заменить частным (числитель разделить на знаменатель)).
— вынесение общего множителя:
\[ ka+kb=k(a+b); \]
— сумма кубов двух выражений:
\[ a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2}); \]
— разность квадратов двух выражений:
\[ a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b); \]
— квадрат суммы и квадрат разности двух выражений:
\[ (a\pm b)^{2}=a^{2}\pm 2ab+b^{2}; \]
— правило сложения и вычитания дробей с разными знаменателями:
\[ \frac{A}{M}\pm\frac{B}{N}=\frac{AN\pm BM}{MN}; \]
— деление дробей:
\[ \frac{A}{B}:\frac{C}{D}=\frac{A}{B}\cdot\frac{D}{C}=\frac{AD}{BC}. \]
— Противоположные выражения:
\(a-b = -(b-a)\).
— Сокращение дробей:
\(\dfrac{ka}{kb} = \dfrac{a}{b}.\)
Вернуться к содержанию учебника