Упражнение 73 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \( \left(\frac{a-3}{a^{2}-3a+9} \overset{ {\color{red}{1}} }{-} \frac{6a-18}{a^{3}+27}\right) \overset{ {\color{red}{2}} }{:} \frac{5a-15}{4a^{3}+108}=\frac{4(a-3)}{5}\)

1) \(\frac{a-3}{a^{2}-3a+9} - \frac{6a-18}{a^{3}+27}=\)

\(= \frac{a-3}{a^{2}-3a+9} ^{\color{blue}{\backslash a+3}} -\frac{6a-18}{(a+3)(a^{2}-3a+9)}=\)

\(=\frac{(a-3)(a+3)-(6a-18)}{(a+3)(a^{2}-3a+9)}= \)

\(=\frac{a^2 - 9 - 6a + 18}{(a+3)(a^{2}-3a+9)}= \)

\(=\frac{a^2 - 6a + 9}{(a+3)(a^{2}-3a+9)}= \)

\(=\frac{(a-3)^2}{a^3+27}. \)

2) \( \frac{(a-3)^{2}}{a^3+27} : \frac{5a-15}{4a^{3}+108}=\)

\(= \frac{(a-3)^{2}}{a^3+27} \cdot \frac{4a^{3}+108}{5a-15}=\)

\(= \frac{(a-3)^{\cancel2}}{\cancel{a^3+27}} \cdot \frac{4\cancel{(a^{3}+27)}}{5\cancel{(a-3)}}=\)

\(=\frac{4(a-3)}{5}.\)

б) \( \frac{ab^{2}-a^{2}b}{a+b}\cdot \frac{a+\frac{ab}{a-b}}{a-\frac{ab}{a+b}}= \)

\( =\frac{ab^{2}-a^{2}b}{a+b} \overset{ {\color{red}{4}} }{\cdot} \left(\left(a \overset{ {\color{red}{1}} }{+} \frac{ab}{a-b}\right) \overset{ {\color{red}{3}} }{:} \left(a \overset{ {\color{red}{2}} }{-} \frac{ab}{a+b}\right)\right) =-ab \)

1) \(a ^{\color{blue}{\backslash a-b}} +\frac{ab}{a-b}=\)

\(=\frac{a(a-b)+ab}{a-b}=\)

\(=\frac{a^2-\cancel{ab}+\cancel{ab}}{a-b}=\frac{a^2}{a-b}.\)

2) \(a ^{\color{blue}{\backslash a+b}} -\frac{ab}{a+b}= \)

\(=\frac{a(a+b)-ab}{a+b}= \)

\(=\frac{a^2+\cancel{ab}-\cancel{ab}}{a+b}=\frac{a^2}{a+b}.\)

3) \(\frac{a^2}{a-b} : \frac{a^2}{a+b}=\)

\(=\frac{\cancel{a^2}}{a-b} \cdot \frac{a+b}{\cancel{a^2}}=\frac{a+b}{a-b}.\)

4) \(\frac{ab^{2}-a^{2}b}{a+b}\cdot\frac{a+b}{a-b}=\)

\(=\frac{-ab\cancel{(a - b)}}{\cancel{a+b}}\cdot\frac{\cancel{a+b}}{\cancel{a-b}}=-ab.\)

Пояснения:

Используемые правила:

— порядок действий:

если в выражении есть скобки, то сначала выполняют действия в скобках, а затем за скобками (также в пункте б) учли то, что дробь можно заменить частным (числитель разделить на знаменатель)).

— вынесение общего множителя:
\[ ka+kb=k(a+b); \]

— сумма кубов двух выражений:
\[ a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2}); \]

— разность квадратов двух выражений:
\[ a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b); \]

— квадрат суммы и квадрат разности двух выражений:
\[ (a\pm b)^{2}=a^{2}\pm 2ab+b^{2}; \]

— правило сложения и вычитания дробей с разными знаменателями:
\[ \frac{A}{M}\pm\frac{B}{N}=\frac{AN\pm BM}{MN}; \]

— деление дробей:
\[ \frac{A}{B}:\frac{C}{D}=\frac{A}{B}\cdot\frac{D}{C}=\frac{AD}{BC}. \]

— Противоположные выражения:

\(a-b = -(b-a)\).

— Сокращение дробей:

\(\dfrac{ka}{kb} = \dfrac{a}{b}.\)

а) \( l = 60(1 + 0{,}000012t) \)

1) \( l(0) = 60(1 + 0{,}000012 \cdot 0) =\)

\(=60\cdot1 = 60 \) (м)

2) \( l(25) = 60(1 + 0{,}000012 \cdot 25) =\)

\(=60(1 + 0{,}0003) =\)

\(=60 \cdot 1{,}0003 = 60{,}018 \) (м)

3) \( \Delta l =l(25) - l(0)=\)

\(=60{,}018 - 60 = 0{,}018 \)(м) \(=18\)(мм)

Ответ: \(18\) мм.

б) \( l = 60(1 + 0{,}000012t) \)

1) \( l(25) = 60(1 + 0{,}000012 \cdot 25) =\)

\(=60(1 + 0{,}0003) =\)

\(=60 \cdot 1{,}0003 = 60{,}018 \) (м)

2) \( l(50) = 60(1 + 0{,}000012 \cdot 50) =\)

\(=60(1 + 0{,}0006) =\)

\(=60 \cdot 1{,}0006 = 60{,}036 \) (м)

3) \( \Delta l =l(50) - l(25) =\)

\(=60{,}036 - 60{,}018 =\)

\(=0{,}018 \) (м) \(=18\) (мм)

Ответ: \(18\) мм.

Пояснения:

Что такое приращение длины:

Приращение — это разность между конечным и начальным значениями:

\[ \Delta l = l_2 - l_1 \]

а) От 0 до 25°C

Сначала находим длину при \( 0^\circ C \) и \( 25^\circ C \), затем вычитаем:

\[ \Delta l = l(25) - l(0) \]

Подставляем значения и получаем увеличение длины на \( 0{,}018 \) м или \(18\) мм.

б) От 25 до 50°C

Аналогично:

\[ \Delta l = l(50) - l(25) \]

Получаем то же приращение \( 0{,}018 \) м или \(18\) мм.

Это происходит потому, что зависимость линейная, и при одинаковом изменении температуры приращение длины одинаково.