Упражнение 78 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

1. \(C=258\) мм

2. \(d=82\) мм.

\(\pi_{\text{эксп}} = \dfrac{C}{d}= \dfrac{258}{82}\approx3,146\)

Так как с точностью до тысячных \(\pi=3,141\), то экспериментально нам удалось верно найти число \(\pi\) до сотых.

Ответ: с точностью до сотых.

Пояснения:

Формула длины окружности:

\[ C = \pi d \]

При измерении окружности и диаметра бытовыми способами (нитка, линейка) всегда возникает погрешность, поэтому значение \(\pi_{\text{эксп}}\) будет лишь приблизительным.

Чтобы определить точность, сравниваем полученное значение с настоящим числом \(\pi \approx 3{,}141\).

а) \(2x^{2}+12x-14=0\)

\(a=2,\ b=12,\ c=-14\).

\(\;D=b^{2}-4ac=\)

\(=12^{2}-4\cdot2\cdot(-14)=\)

\(=144+112=256,\)     \( \sqrt D=16.\)

\(x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt D}{2a}\)

\(x_1=\dfrac{-12+16}{2\cdot2}=\frac44=1\).

\(x_{2}=\dfrac{-12-16}{2\cdot2}=\frac{-28}{4}=-7.\)

\(2x^{2}+12x-14=2(x-1)(x+7).\)

б) \(-m^{2}+5m-6=0\)    \(/\times(-1)\)

\(m^{2}-5m+6=0\)

\(a=1,\ b=-5,\ c=6\).

\(D=b^2-4ac=(-5)^{2}-4\cdot1\cdot6=\)

\(=25-24=1,\)     \(\sqrt D=1.\)

\(m_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt D}{2a}\)

\(m_{1}=\dfrac{-(-5)+1}{2\cdot1}=\dfrac{6}{2} = 3\),

\(m_1=\dfrac{-(-5)-1}{2\cdot1}=\dfrac{4}{2}=2\).

\(-m^{2}+5m-6=\)

\(=-(m-3)(m-2).\)

в) \(3x^{2}+5x-2=0\)

\(a=3,\ b=5,\ c=-2\).

\(D=b^2 - 4ac=5^{2}-4\cdot3\cdot(-2)=\)

\(=25+24=49,\)    \( \sqrt D=7.\)

\(x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt D}{2a}\)

\(x_{1}=\dfrac{-5+7}{2\cdot3}=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}\),

\(x_{2}=\dfrac{-5-7}{2\cdot3}=\dfrac{-12}{6}=-2.\)

\(3x^{2}+5x-2=\)

\(=3\!\left(x-\dfrac13\right)(x+2)=\)

\(=(3x-1)(x+2).\)

г) \(6x^{2}-13x+6=0\)

\(a=6,\ b=-13,\ c=6\).

\(D=b^2-4ac=(-13)^{2}-4\cdot6\cdot6=\)

\(=169-144=25,\ \sqrt D=5.\)

\(x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt D}{2a}\)

\(x_{1,2}=\dfrac{-(-13)+5}{2\cdot6}=\dfrac{18}{12}=\dfrac{3}{2}\),

\(x_{2}=\dfrac{-(-13)-5}{2\cdot6}=\dfrac{8}{12}=\dfrac{2}{3}.\)

\(6x^{2}-13x+6=\)

\(=6\!\left(x-\dfrac{3}{2}\right)\!\left(x-\dfrac{2}{3}\right)=\)

\(=(2x-3)(3x-2).\)

Пояснения:

Использованные приемы:

1) Если квадратный трехчлен

\(ax^2 + bx+c\) имеет корни, то его можно разложить на множители

\(ax^2 + bx+c=a(x - x_1)(x-x_2)\),

где  \(x_1\) и \(x_2\) - корни квадратного трёхчлена.

2) Корни уравнения не изменяются, если обе его части разделить или умножить на одно и то же число.

3) При решении уравнений сначала находим дискриминант \(D = b^2 - 4ac\), чтобы определить количество корней. При \(D>0\) уравнение имеет два корня.

4) Корни квадратных уравнений находим по основным формулам корней:

\(x_{1,2}= \frac{-b\pm\sqrt D}{2a}\).

5) В разложении коэффициент \(а\) можно внести в какую-либо скобку или разложив его на множители сразу в две скобки для получения целочисленных выражений.