Длина окружности и площадь круга

Возьмем цилиндр, диаметр основания которого равен (рис.1).

Мы можем измерить его диаметр, высоту с помощью линейки, при этом мы не можем измерить с ее помощью длину окружности его основания. Чтобы ее измерить воспользуемся нитью, обернем ее вокруг цилиндра и отрежем так, чтобы оно образовала замкнутую окружность (рис. 2).

Тогда если мы ее развернем, то она будет приближенно равна длине окружности основания цилиндра (рис. 3).

Заметим, что если диаметр основания увеличить, то длина веревки, которая понадобиться, чтобы "опоясать" цилиндр, также увеличится.

Из этого следует, что отношение длины окружности к длине её диаметра является одним и тем же числом для всех окружностей. Данное число обозначают буквой ("пи"). При этом на практике найдено, что с точностью до десятитысячных равно 3,1416 (примерно такую же точность дает значение ).

Пусть - длина окружности, - длина диаметра, тогда : = , откуда 

Изобразим  круг с центром в точке О, радиус которого равен , и два квадрата ABCD и ЕFJK (см. рисунок 4):

Так как по построению радиус окружности равен , то длина стороны квадрата ABCD, равная диаметру окружности, будет равна 2, тогда его площадь будет равна 4².

Диагональ FE делит квадрат AEOF на два равных треугольника, значит, площадь треугольника EOF в два раза меньше площади квадрата AEOF, поэтому площадь квадрата ЕFJK  в два раза меньше площади квадрата ABCD, значит, площадь квадрата ЕFJK  равна 2².

Если мы посмотрим на рисунок 4, то заметим, что площадь круга S, меньше площади квадрата ABCD, но больше площади квадрата ЕFJK, поэтому мы можем записать неравенство:

2² < S < 4².

В курсе геометрии будет доказано, что S = ².