Упражнение 705 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(\begin{cases} x+y=8, \\ xy=-20 \end{cases}\)

\(\begin{cases} y=8 - x, \\ x(8-x)=-20 \end{cases}\)

\(x(8-x)=-20\)

\(8x - x^2 +20 = 0\)   \(/\times (-1)\)

\(x^2 - 8x - 20 = 0\)

\(a = 1\),  \(b= -8\),  \(c = -20\)

\(D = b^2 -4ac =\)

\(=(-8)^2 - 4\cdot1\cdot(-20) =\)

\( = 64 + 80 = 144\),   \(\sqrt D = 12\).

\(x_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt D}{2a}\)

\(x_1= \frac{-(-8)+ 12}{2\cdot1}=\frac{20}{2} = 10\).

\(x_2= \frac{-(-8)- 12}{2\cdot1}=\frac{-4}{2} = -2\).

\(y_1 = 8 - 10 = -2\).

\(y_2 =8-(-2) = 8 + 2 = 10\).

Ответ: \((10;-2)\), \((-2;10)\).

б) \(\begin{cases} x-y=0,8, \\ xy=2,4 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x=y+0,8, \\ (y+0,8)y=2,4 \end{cases}\)

\((y+0,8)y=2,4 \)

\(y^2+0,8y-2,4=0 \)

\(a = 1\),  \(b= 0,8\),  \(c = -2,4\)

\(D = b^2 -4ac =\)

\(=0,8^2 - 4\cdot1\cdot2,4=\)

\(=0,64+9,6=10,24\),   \(\sqrt D = 3,2\).

\(y_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt D}{2a}\)

\(y_1= \frac{-0,8+ 3,2}{2\cdot1}=\frac{2,4}{2} = 1,2\).

\(y_2= \frac{-0,8- 3,2}{2\cdot1}=\frac{-4}{2} = -2\).

\(x_1 = 1,2 + 0,8 = 2\).

\(x_2 = -2 + 0,8 = -1,2\).

Ответ: \((2;1,2)\), \((-1,2;-2)\).

в) \(\begin{cases} x^2-y^2=8, \\ x-y=4 \end{cases}\)

\(\begin{cases} (4+y)^2-y^2=8, \\ x=4+y \end{cases}\)

\((4+y)^2-y^2=8\)

\(16 + 8y + y^2-y^2 - 8 = 0\)

\(8y +8=0\)

\(8y = -8\)

\(y = -1\)

\(x = 4 + (-1) = 4-1= 3\).

Ответ: \((3;-1)\).

г) \(\begin{cases} x^2+y^2=5, \\ x+y=-3 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x^2+(-3-x)^2=5, \\ y=-3-x \end{cases}\)

\(x^2+(-3-x)^2=5\)

\(x^2+(3+x)^2=5\)

\(x^2 + 9 + 6x + x^2 - 5 = 0\)

\(2x^2 + 6x + 4=0\)   \(/ : 2\)

\(x^2 + 3x + 2 = 0\)

\(a = 1\),  \(b= 3\),  \(c = 2\)

\(D = b^2 -4ac =3^2 - 4\cdot1\cdot2 =\)

\(= 9 - 8 = 1\),    \(\sqrt D = 1\).

\(x_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt D}{2a}\)

\(x_1= \frac{-3+ 1}{2\cdot1}=\frac{-2}{2} = -1\).

\(x_2= \frac{-3- 1}{2\cdot1}=\frac{-4}{2} = -2\).

\(y_1 = -3 - (-1)= -3 + 1 = -2\).

\(y_2 = -3 - (-2) =-3+2 = -1\).

Ответ: \((-1;-2)\), \((-2;-1)\).

Пояснения:

При решении систем уравнений использовали метод подстановки:

1) выражают из уравнения первой степени одну переменную через другую;

2) подставляют полученное выражение в уравнение второй степени, в результате чего приходят к уравнению с одной переменной;

3) решают получившиеся уравнение с одной переменной;

4) находят соответствующие значения второй переменной.

В пунктах а), б) и г) получили полное квадратное уравнение вида

\(ax^2 + bx + c = 0\) с дискриминантом \(D = b^2 - 4ac >0\), которое имеет два корня:

\(x_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt D}{2a}\).

В пункте г) получили линейное уравнение вила \(ax = b\), которое имеет единственный корень \(x = \frac{b}{a}\).

В пунктах в) и г) при выполнении преобразований использовали формулу квадрата суммы двух выражений:

\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\).

В пункте г) также учли то, что :

\((-a - b)^2 = (a + b)^2\).

\( 90 \, \text{м/мин} =90\cdot60 : 1000=\)

\(=5,4 \, \text{км/ч}.\)

Пусть скорость течения реки \(x\) км/ч.

\(4 \, ч \, 30 \, мин = 4\frac12 \,ч\, = \frac92 \, ч\)

Составим уравнение:

\(\frac{6}{5,4-x} + \frac{6}{x} = \frac92\) \(/\times2x(5,4 - x)\)

ОДЗ: \(x\neq0\)   и   \(5,4-x\neq 0\)

                            \(x\neq5,4\)

\(12x + 12(5,4 - x) = 9x(5,4 - x)\)

\(\cancel{12x} + 64,8 - \cancel{12x} = 48,6x - 9x^2\)

\(9x^2 -48,6x + 64,8 = 0\)   \(/  : 9\)

\(x^2 -5,4x + 7,2 = 0\)   \(/\times5\)

\(5x^2 - 27x + 36 = 0\)

\(a = 5\),  \(b = -27\),  \(c = 36\)

\(D = b^2 - 4ac = (-27)^2 - 4\cdot 5\cdot36 =\)

\( = 729 - 720 = 9\),   \(\sqrt D = 3\).

\(x_1=\frac{-(-27) + 3}{2\cdot5} = \frac{30}{10} = 3\).

\(x_1=\frac{-(-27) - 3}{2\cdot5} = \frac{24}{10} = 2,4\).

Ответ: скорость течения реки \(3\) км/ч или \(2,4\) км/ч.

Пояснения:

Время в пути вычисляется по формуле \[t=\frac{S}{v}.\]

Мы обозначили скорость течения реки \(x\) км/ч. По условию задачи составили дробное рациональное уравнение:

\(\frac{6}{5,4-x} + \frac{6}{x} = \frac92\).

Алгоритм решения дробного рационального уравнений:

1) найти ОДЗ (область допустимых значений), то есть те значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль;

2) найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;

3) умножить обе части уравнения на общий знаменатель;

4) решить получившееся целое уравнение;

5) исключить из его корней те, которые совпадают с ОДЗ.

После того как обе части уравнения домножили на общий знаменатель и выполнили преобразования, получили квадратное уравнение, у которого дискриминант \(D = b^2 - 4ac>0\), поэтому уравнение имеет два корня: \(3\) и \(2,4\). Оба корня удовлетворяют условию задачи, значит, скорость течения реки \(3\) км/ч или \(2,4\) км/ч.