Упражнение 608 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(x^{2}-10x+10=\)

\(=(x^{2}-2\cdot5\cdot x+5^2)-5^2+10=\)

\(=(x-5)^{2} - 25 + 10=\)

\(=(x-5)^{2}-15.\)

б) \(x^{2}+3x-1=\)

\(=\Bigl(x^{2}+2\cdot1,5\cdot x+1,5^2\Bigr)-1,5^2-1=\)

\(=(x+1,5)^2-2,25-1=\)

\(=(x+1,5)^{2}-3,25.\)

в) \(3x^{2}+6x-3=\)

\(=3(x^{2}+2x-1)=\)

\(=3((x^{2}+2\cdot1\cdot x + 1^2) - 1^2-1)=\)

\(=3\bigl((x+1)^{2}-2\bigr)=3(x+1)^{2}-6.\)

г) \(\;\dfrac14x^{2}-x+2=\)

\(=\dfrac14(x^{2}-4x+8)=\)

\(=\dfrac14((x^{2}-2\cdot2\cdot x+2^2) - 2^2+8)=\)

\(=\dfrac14((x-2)^2 - 4+8)=\)

\(=\dfrac14((x-2)^2 +4)=\)

\(=\dfrac14(x-2)^2 +1\)

Пояснения:

Использованные приемы и формулы:

1) Значение выражения не изменяется, если к нему прибавить и вычесть одно и то же число (выражение).

2) Квадрат суммы двух выражений:

\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\).

3) Квадрат разности двух выражений:

\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).

Пояснения у пунктам:

а) К \(x^{2}-10x\) добавили и вычли \(5^2\).

б) К \(x^{2}+3x\) добавили и вычли \(1,5^2\).

в) Вынесли \(3\) за скобки, внутри скобок к \(x^{2}+2x\) добавили и вычли \(1^2\).

г) Вынесли \(\frac14\) за скобки, внутри скобок к \(x^{2}-4x\) добавили и вычли \(2^2\).

а) \(\displaystyle \frac{10}{(x-5)(x+1)}+\frac{x}{x+1}=\frac{3}{x-5}\)  \(/\times(x-5)(x+1)\)

ОДЗ: \(x-5\neq0\)  и  \(x+1\neq0\)

          \(x\neq5\)             \(x\neq-1\)

\( 10+x(x-5)=3(x+1)\)

\(10+x^2 - 5x = 3x+3\)

\(10 +x^2 - 5x - 3x - 3 = 0\)

\(x^2 -8x +7 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = -8\),  \(c = 7\)

\(D = b^2 - 4ac=(-8)^{2}-4\cdot1\cdot7=\)

\(=64-28=36\),    \(\sqrt D = 6\).

\( x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\).

\(x_1=\dfrac{-(-8)+6}{2\cdot1}=\dfrac{14}{2}=7\).

\(x_2=\dfrac{-(-8)-6}{2\cdot1}=\dfrac{2}{2}=1\).

Ответ: \(7;   1\).

б) \(\displaystyle \frac{17}{(x-3)(x+4)}-\frac{1}{x-3}=\frac{x}{x+4}\)  \(/\times(x-3)(x+4)\)

ОДЗ: \(x-3\neq0\)  и  \(x+4\neq0\)

          \(x\neq3\)             \(x\neq-4\)

\( 17-(x+4)=x(x-3)\)

\(17 - x - 4 = x^2 -3x\)

\(13 - x - x^2 + 3x = 0\)

\(-x^2 +2x + 13 = 0\)   \(/\times(-1)\)

\(x^2 -2x -13 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = -2\),  \(c = -13\)

\(D = b^2 - 4ac=\)

\(=(-2)^{2}-4\cdot1\cdot(-13)=\)

\(=4 + 52=56\),

\(\sqrt D = \sqrt{56} = \sqrt{4\cdot14} =2\sqrt{14} \).

\( x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}=\dfrac{-(-2)\pm2\sqrt{14}}{2\cdot1}=\)

\(=\dfrac{2\pm2\sqrt{14}}{2}=\dfrac{\cancel{2}(1\pm\sqrt{14})}{\cancel{2}}=\)

\(=1\pm\sqrt{14}\).

Ответ: \(1+\sqrt{14};   1-\sqrt{14}\).

в) \(\displaystyle \frac{4}{(x+1)^2}-\frac{1}{(x-1)^2}+\frac{1}{x^2-1}=0\)

\(\displaystyle \frac{4}{(x+1)^2}-\frac{1}{(x-1)^2}+\frac{1}{(x-1)(x+1)}=0\) \(/\times(x-1)^2(x+1)^2\)

ОДЗ: \(x-1\neq0\)  и  \(x+1\neq0\)

          \(x\neq1\)            \(x\neq-1\)

\( 4(x-1)^{2}-(x+1)^{2}+(x-1)(x+1)=0 \)

\(4(x^2 -2x + 1) -(x^2 + 2x + 1) +(x^2 - 1) = 0\)

\(4x^2 - 8x + 4 -x^2 - 2x - 1 + x^2 - 1 = 0\)

\( 4x^{2}-10x+2=0 \)    \( / : 2\)

\(2x^{2}-5x+1=0\)

\(a = 2\),  \(b = -5\),  \(c = 1\)

\(D = b^2 - 4ac=(-5)^{2}-4\cdot2\cdot1=\)

\(=25 -8=17\),    \(\sqrt D = \sqrt{17}\).

\( x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}=\dfrac{-(-5)\pm\sqrt{17}}{2\cdot2}=\)

\(=\dfrac{5\pm\sqrt{17}}{4}\).

Ответ: \(\dfrac{5+\sqrt{17}}{4};   \dfrac{5-\sqrt{17}}{4}\).

г) \(\displaystyle \frac{4}{9x^{2}-1}+\frac{1}{3x^{2}-x}=\frac{4}{9x^{2}-6x+1}\)

\(\displaystyle \frac{4}{(3x-1)(3x+1)}+\frac{1}{x(3x-1)}=\frac{4}{(3x-1)^2}\)  \(/\times x(3x-1)^2(3x+1)\)

ОДЗ:

\(x\neq0\) и \(3x - 1\neq0\) и \(3x + 1\neq0\)

               \(3x \neq1\)           \(3x \neq-1\)

               \(x\neq\frac13\)            \(x\neq-\frac13\)

\( 4x(3x-1)+(3x-1)(3x+1)=4x(3x+1)\)

\(12x^2 - 4x +9x^2 - 1 = 12x^2 +4x\)

\(\cancel{12x^2} - 4x +9x^2 - 1 - \cancel{12x^2} - 4x=0\)

\(9x^2 - 8x - 1=0\)

\(a = 9\),  \(b = -8\),  \(c = -1\)

\(D = b^2 - 4ac=\)

\(=(-8)^{2}-4\cdot9\cdot(-1)=\)

\(=64 + 36=100\),    \(\sqrt D = 10\).

\( x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\).

\(x_1=\dfrac{-(-8)+10}{2\cdot9}=\dfrac{18}{18}=1\).

\(x_2=\dfrac{-(-8)-10}{2\cdot9}=\dfrac{-2}{18}=-\frac19\).

Ответ: \(1;   -\frac19\).

Пояснения:

Алгоритм решения уравнений:

1) найти ОДЗ (область допустимых значений), то есть те значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль;

2) найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение (предварительно, если возможно, разложить все знаменатели на множители);

3) умножить обе части уравнения на общий знаменатель;

4) решить получившееся целое уравнение;

5) исключить из его корней те, которые совпадают с ОДЗ.

Решение целых уравнений:

1) Полное квадратное уравнение \(ax^2 + bx + c=0\), которое решается через дискриминант \(D = b^2-4ac\).

– если \(D>0\), то уравнение имеет два корня:

\(x_1 =\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}\);

\(x_2 =\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}\).

– если \(D=0\), то уравнение имеет один корень:

\(x =-\frac{b}{2a}\).

– если \(D<0\), то уравнение не имеет корней.

2) Линейное уравнение вида \(ax = b\), которое при \(a\neq0\) имеет единственный корень \(x = \frac{b}{a}\).

Раскрытие скобок:

\(a(b + c) = ab + ac\).

Разность квадратов:

\(a^2 - b^2 = (a-b)(a + b)\)

Квадрат суммы:

\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\).

Квадрат разности:

\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).

Свойство степени:

\((ab)^n = a^nb^n\).