Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№604 учебника 2023-2025 (стр. 140):
Имеет ли квадратный трёхчлен корни и если имеет, то сколько:
а) \(5x^{2}-8x+3\);
б) \(9x^{2}+6x+1\);
в) \(-7x^{2}+6x-2\);
г) \(-x^{2}+5x-3\)?
№604 учебника 2013-2022 (стр. 142):
При каком значении \(x\):
а) значение функции \(y=\dfrac{2x-1}{x+6}\) равно \(5;\;-3;\;0;\;2\);
б) значение функции \(y=\dfrac{x^{2}+x-2}{x+3}\) равно \(-10;\;0;\;-5\)?
№604 учебника 2023-2025 (стр. 140):
Вспомните:
№604 учебника 2013-2022 (стр. 142):
Вспомните:
№604 учебника 2023-2025 (стр. 140):
а) \(5x^{2}-8x+3=0\)
\(a = 5\), \(b = -8\), \(c = 3\)
\(D=b^2 - 4ac=(-8)^{2}-4\cdot5\cdot3=\)
\(=64-60=4>0\) — два корня.
Ответ: уравнение имеет два корня.
б) \(9x^{2}+6x+1=0\)
\(a = 9\), \(b = 6\), \(c = 1\)
\(D=b^2 - 4ac=6^{2}-4\cdot9\cdot1=\)
\(=36-36=0\) — один корень.
Ответ: уравнение имеет один корень.
в) \(-7x^{2}+6x-2=0\) \(/\times(-1)\)
\(7x^{2}-6x+2=0\)
\(a = 7\), \(b = -6\), \(c = 2\)
\(D=b^2 - 4ac=(-6)^{2}-4\cdot7\cdot2=\)
\(=36-56=-20<0\) — корней нет.
Ответ: уравнение не имеет корней.
г) \(-x^{2}+5x-3=0\) \(/\times(-1)\)
\(x^{2}-5x+3=0\)
\(a = 1\), \(b = -5\), \(c = 3\)
\(D=b^2 - 4ac=(-5)^{2}-4\cdot1\cdot3=\)
\(=25-12=13>0\) — два корня.
Ответ: уравнение имеет два корня.
Пояснения:
Значение переменной, при котором трехчлен обращается в нуль, называют корнем трехчлена.
Использовано правило о дискриминанте квадратного уравнения \(ax^{2}+bx+c=0\):
\(D=b^{2}-4ac\).
Если \(D>0\) — два действительных корня; если \(D=0\) — один корень; если \(D<0\) — действительных корней нет.
В пунктах в) и г) уравнение умножено на \(-1\) (допустимо, так как корни не меняются), чтобы привести к стандартному виду с \(a>0\) и затем вычислить \(D\).
№604 учебника 2013-2022 (стр. 142):
а) \(y=\dfrac{2x-1}{x+6}\)
ОДЗ: \(x\neq-6\).
Если \(y=5\), то
\(\dfrac{2x-1}{x+6}=5\) \(/\times(x+6)\)
\(2x-1=5(x+6)\)
\(2x-1=5x+30\)
\(2x-5x=30+1\)
\(-3x=31\)
\(x=-\frac{31}{3}\)
\( x=-10\dfrac{1}{3}\).
Ответ: \(-10\dfrac{1}{3}\).
Если \(y=-3\), то
\(\dfrac{2x-1}{x+6}=-3\) \(/\times(x+6)\)
\(2x - 1 = -3(x+6)\)
\(2x-1 = -3x - 18\)
\(2x + 3x = -18 + 1\)
\(5x = -17\)
\(x = -\frac{17}{5}\)
\(x = -3,4\)
Ответ: \(-3,4\).
Если \(y=0\), то
\(\dfrac{2x-1}{x+6}=0\) \(/\times(x+6)\)
\(2x-1=0\)
\(2x = 1\)
\(x=\dfrac12\)
\(x = -0,5\)
Ответ: \(-0,5\).
Если \(y=2\), то
\(\dfrac{2x-1}{x+6}=2\) \(/\times(x+6)\)
\(2x - 1 = 2(x+6)\)
\(2x-1=2x+12\)
\(2x - 2x = 12 + 1\)
\(0=13\) — неверно.
Ответ: корней нет.
б) \(y=\dfrac{x^{2}+x-2}{x+3}\)
ОДЗ: \(x + 3 \neq0\)
\(x\neq-3\).
Если \(y=-10\), то
\(\dfrac{x^{2}+x-2}{x+3}=-10\) \(/\times(x+3)\)
\(x^{2}+x-2=-10(x+3)\)
\(x^{2}+x-2=-10x-30\)
\(x^{2}+x-2+10x+30=0\)
\(x^{2}+11x+28=0\)
\(a = 1\), \(b = 11\), \(c = 28\)
\(D = b^2 - 4ac = 11^2 - 4\cdot1\cdot28 =\)
\(=121 -112 = 9\), \(\sqrt D = 3\).
\( x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\).
\( x_1 = \frac{-11+3}{2\cdot1}=\frac{-8}{2}=-4\).
\( x_2 = \frac{-11-3}{2\cdot1}=\frac{-14}{2}=-7\).
Ответ: \(-4; -7\).
Если \(y=0\), то
\(\dfrac{x^{2}+x-2}{x+3}=0\) \(/\times(x+3)\)
\(x^{2}+x-2=0\)
\(a = 1\), \(b = 1\), \(c = -2\)
\(D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4\cdot1\cdot(-2) =\)
\(=1 + 8 = 9\), \(\sqrt D = 3\).
\( x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\).
\( x_1 = \frac{-1+3}{2\cdot1}=\frac{2}{2}=1\)
\( x_2 = \frac{-1-3}{2\cdot1}=\frac{-4}{2}=-2\)
Ответ: \(1; -2\).
Если \(y=-5\), то
\(\dfrac{x^{2}+x-2}{x+3}=-5\) \(/\times(x+3)\)
\(x^{2}+x-2=-5(x + 3)\)
\(x^{2}+x-2=-5x-15\)
\(x^{2}+x-2+5x+15=0\)
\(x^{2}+6x+13=0\)
\(a = 1\), \(b = 6\), \(c = 13\)
\(D = b^2 - 4ac =6^2 - 4\cdot1\cdot13=\)
\(=36-52=-16<0\) — решений нет.
Ответ: корней нет.
Пояснения:
Вместо \(у \) в рассматриваемую функцию подставляем числовое значение и решаем полученное дробное рациональное уравнение.
Алгоритм решения уравнений:
1) найти ОДЗ (область допустимых значений), то есть те значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль;
2) найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;
3) умножить обе части уравнения на общий знаменатель;
4) решить получившееся целое уравнение;
5) исключить из его корней те, которые совпадают с ОДЗ.
Решение целых уравнений:
1) Полное квадратное уравнение \(ax^2 + bx + c=0\), которое решается через дискриминант \(D = b^2-4ac\).
– если \(D>0\), то уравнение имеет два корня:
\(x_1 =\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}\);
\(x_2 =\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}\).
– если \(D=0\), то уравнение имеет один корень:
\(x =-\frac{b}{2a}\).
– если \(D<0\), то уравнение не имеет корней.
2) Линейное уравнение вида \(ax = b\), которое при \(a\neq0\) имеет единственный корень \(x = \frac{b}{a}\).
Раскрытие скобок:
\(a(b + c) = ab + ac\).
Вернуться к содержанию учебника