Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№610 учебника 2023-2025 (стр. 140):
Даны квадратные трёхчлены \(x^{2}-6x+11\) и \(-x^{2}+6x-11\). Докажите, что первый из них не принимает отрицательных значений, а второй — положительных.
№610 учебника 2013-2022 (стр. 143):
(Для работы в парах.) Решите уравнение:
а) \(1+\frac{1}{\,3+\frac{1}{\,2+\frac{1}{\,5-x^{2}\,}\,}\,}=1\frac{7}{24};\)
б) \(1-\frac{1}{\,2+\frac{1}{\,1+\frac{1}{\,10-x^{2}\,}\,}\,}=\frac{3}{5}.\)
1) Обсудите, какие преобразования и в какой последовательности надо выполнить, чтобы найти корни уравнения.
2) Распределите, кто выполняет задание а), а кто - задание б), и выполните их.
3) Проверьте друг у друга, правильно ли решено уравнение.
№610 учебника 2023-2025 (стр. 140):
Вспомните:
№610 учебника 2013-2022 (стр. 143):
Вспомните.
№610 учебника 2023-2025 (стр. 140):
а) \(x^{2}-6x+11=\)
\(=(x^{2}-2\cdot3x+3^2)-3^2+11=\)
\(=(x-3)^{2}+2>0.\)
б) \(-x^{2}+6x-11=\)
\(=-(x^{2}-6x+11)=\)
\(=-((x^{2}-2\cdot3x+3^2)-3^2+11)=\)
\(=-((x-3)^{2}+2)=\)
\(=-(x-3)^{2}-2<0.\)
Пояснения:
Использованные приемы и формулы:
1) Значение выражения не изменяется, если к нему прибавить и вычесть одно и то же число (выражение).
2) Квадрат суммы двух выражений:
\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\).
3) Квадрат разности двух выражений:
\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).
4) Квадрат любого числа неотрицателен:
\((a-b)^{2}\ge0\), тогда \(-(a-b)^{2}\le0\).
№610 учебника 2013-2022 (стр. 143):
а) \( 1+\frac{1}{3+\frac{1}{2 +\frac{1}{5-x^{2}}}}=1\frac{7}{24} \)
\(\frac{1}{3+\frac{1}{2 +\frac{1}{5-x^{2}}}}=1\frac{7}{24} - 1 \)
\(\frac{1}{3+\frac{1}{2 +\frac{1}{5-x^{2}}}}=\frac{7}{24}\)
\(\frac{1}{3+\frac{1}{2 +\frac{1}{5-x^{2}}}}=\frac{7}{24}\)
\(3+\frac{1}{2 +\frac{1}{5-x^{2}}}=\frac{24}{7} \)
\(\frac{1}{2 +\frac{1}{5-x^{2}}}=3\frac{3}{7}-3 \)
\(\frac{1}{2 +\frac{1}{5-x^{2}}}=\frac{3}{7}\)
\(2 +\frac{1}{5-x^{2}}= \frac{7}{3}\)
\(\frac{1}{5-x^{2}}= 2\frac{1}{3}-2\)
\(\frac{1}{5-x^{2}}= \frac{1}{3}\) \(/\times 3(5-x^2)\)
ОДЗ: \(5-x^2 \neq0\)
\( x^2 \neq 5\)
\(x\neq\pm\sqrt5\)
\(3 = 5 - x^2\)
\(x^2 = 5- 3\)
\(x^2 = 2\)
\(x = \pm\sqrt2\)
Ответ: \(\sqrt2; -\sqrt2\).
б) \( 1-\frac{1}{2+\frac{1}{1 +\frac{1}{10-x^{2}}}}=\frac{3}{5} \)
\( \frac{1}{2+\frac{1}{1 +\frac{1}{10-x^{2}}}}=1-\frac{3}{5} \)
\( \frac{1}{2+\frac{1}{1 +\frac{1}{10-x^{2}}}}=\frac{2}{5} \)
\(2+\frac{1}{1 +\frac{1}{10-x^{2}}}= \frac{5}{2} \)
\(\frac{1}{1 +\frac{1}{10-x^{2}}}= 2\frac{1}{2} -2\)
\(\frac{1}{1 +\frac{1}{10-x^{2}}}= \frac{1}{2}\)
\(1 +\frac{1}{10-x^{2}}=2\)
\(\frac{1}{10-x^{2}}=2-1\)
\(\frac{1}{10-x^{2}}=1\) \(/\times (10-x^2)\)
ОДЗ: \(10-x^2 \neq0\)
\( x^2 \neq 10\)
\(x\neq\pm\sqrt{10}\)
\(1=10-x^2\)
\(x^2=10-1\)
\(x^2 = 9\)
\(x = \pm\sqrt9\)
\(x = \pm3\)
Ответ: \(3; -3\).
Пояснения:
Поэтапно использовали следующее свойство:
если \(\dfrac{1}{A}=k\) (при \(A\neq0\)), то \(A=\dfrac{1}{k}\).
В результате получили дробное рациональное уравнение, которое решают по следующему алгоритму:
Алгоритм решения уравнений:
1) найти ОДЗ (область допустимых значений), то есть те значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль;
2) найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение (предварительно,если возможно, разложить все знаменатели на множители);
3) умножить обе части уравнения на общий знаменатель;
4) решить получившееся целое уравнение;
5) исключить из его корней те, которые совпадают с ОДЗ.
После преобразований получилось неполное квадратное уравнение вида \(ax^2 = b\), откуда при \(a\neq0\) имеем \(x^2 = \frac{b}{a}\), тогда \(x_{1,2} = \pm\sqrt{\frac{b}{a}}\).
Вернуться к содержанию учебника