Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№730 учебника 2023-2025 (стр. 171):
В спортзале в двух ящиках было 120 мячей. В первый ящик положили ещё 40% от числа мячей, которые там были, а из второго вынули 10% того, что было. После этого в первом ящике стало на 30 мячей больше, чем во втором. Сколько мячей было в каждом ящике первоначально?
№730 учебника 2013-2022 (стр. 163):
Верно ли при любом \(x\) неравенство:
а) \(4x(x+0,25) > (2x+3)(2x-3)\);
б) \((5x-1)(5x+1) < 25x^2 + 2\);
в) \((3x+8)^2 > 3x(x+16)\);
г) \((7+2x)(7-2x) < 49 - x(4x+1)\)?
№730 учебника 2023-2025 (стр. 171):
Вспомните:
№730 учебника 2013-2022 (стр. 163):
Вспомните:
№730 учебника 2023-2025 (стр. 171):
\(40\)% = \(0,4\); \(10\)% = \(0,1\)
Пусть \( x \) - количество мячей в первом ящике, а \(y\) - количество мячей во втором ящике.
\( \begin{cases} x+y=120, \\ x+0,4x = y-0,1y+30 \end{cases} \)
\( \begin{cases} x+y=120, \\ 1,4x = 0,9y+30 \end{cases} \)
\( \begin{cases} y=120 - x, \\ 1,4x = 0,9(120-x)+30 \end{cases} \)
\( 1,4x = 0,9(120-x)+30 \)
\( 1,4x = 108-0,9x+30 \)
\( 1,4x+0,9x=138 \)
\( 2,3x=138 \)
\(x = \frac{138}{2,3}\)
\(x = \frac{1380}{23}\)
\( x=60 \)
\( y=120-60=60 \)
Ответ: первоначально в каждом ящике было по 60 мячей.
Пояснения:
Чтобы найти несколько процентов от числа, нужно проценты преобразовать в десятичную дробь и умножить число на эту дробь.
По условию составили систему уравнений: первое уравнение выражает общее количество мячей, второе — условие после изменения числа мячей.
Решаем систему способом подстановки.
Алгоритм решения системы уравнений способом подстановки:
1) выражают из уравнения первой степени одну переменную через другую;
2) подставляют полученное выражение в уравнение второй степени, в результате чего приходят к уравнению с одной переменной;
3) решают получившиеся уравнение с одной переменной;
4) находят соответствующие значения второй переменной.
Линейное уравнение вида \(ax = b\) при \(a \neq 0\) имеет единственный корень: \(x = \frac{b}{a}\).
№730 учебника 2013-2022 (стр. 163):
а) \(4x(x+0,25) > (2x+3)(2x-3)\)
\(4x(x+0,25) -(2x+3)(2x-3) =\)
\(=4x^2+x - (4x^2-9) =\)
\(=4x^2+x - 4x^2+9 =\)
\(=x+9\) - зависит от \(x\).
Ответ: неверно.
б) \((5x-1)(5x+1) < 25x^2 + 2\)
\( (5x-1)(5x+1) - (25x^2+2) =\)
\(=25x^2-1 - 25x^2-2 =\)
\(=-3 < 0\)
Ответ: верно.
в) \((3x+8)^2 > 3x(x+16)\)
\( (3x+8)^2 - 3x(x+16) =\)
\(=9x^2+\cancel{48x}+64 - 3x^2-\cancel{48x} =\)
\(=6x^2+64 > 0\) при любом \(x\).
Ответ: верно.
г) \((7+2x)(7-2x) < 49 - x(4x+1)\)
\( (7+2x)(7-2x) - \bigl(49 - x(4x+1)\bigr) =\)
\(=(49-4x^2) - (49-4x^2-x) =\)
\(=\cancel{49}-\cancel{4x^2} - \cancel{49}+\cancel{4x^2}+x =\)
\(=x\) - зависит от \(x\).
Ответ: неверно.
Пояснения:
Для каждого неравенства вычислялась разность:
левая часть − правая часть.
Затем учитывали, то что:
- если \(a - b < 0\), то \(a < b\);
если \(a - b > 0\), то \(a > b\).
Если знак разности зависит от \(x\), то неравенство выполняется только при некоторых значениях переменной.
Вернуться к содержанию учебника