Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№732 учебника 2023-2025 (стр. 171):
Найдите значение выражения:
а) \((20-3)(20+3)\);
б) \(\left(10+\frac{1}{2}\right)\left(10-\frac{1}{2}\right)\);
в) \(102\cdot 98\);
г) \(8,6 \cdot 7,4\);
д) \(4\frac{3}{4}\cdot 5\frac{1}{4}\);
е) \(2,7 \cdot 3,3\).
№732 учебника 2013-2022 (стр. 164):
(Для работы в парах.) Увеличится или уменьшится дробь \(\frac{a}{b}\), где \(a\) и \(b\) — натуральные числа, если к её числителю и знаменателю прибавить по 1?
1) Рассмотрите на примерах, как изменяется дробь \(\frac{a}{b}\). (Одному учащемуся рекомендуем взять дроби, у которых числитель меньше знаменателя, а другому - дроби, у которых числитель больше знаменателя.)
2) Обсудите друг с другом ваши наблюдения и выскажите гипотенузу для каждого случая.
3) Проведите доказательство: один для случая \(a < b\), а другой - для случая \(a > b\).
4) Проверьте друг у друга правильность рассуждений.
№732 учебника 2023-2025 (стр. 171):
Вспомните:
№732 учебника 2013-2022 (стр. 164):
Вспомните:
№732 учебника 2023-2025 (стр. 171):
а) \((20-3)(20+3)=\)
\(=20^2-3^2=400-9=391\).
б) \(\left(10+\frac{1}{2}\right)\left(10-\frac{1}{2}\right)=\)
\(=10^2-\left(\frac{1}{2}\right)^2=100-\frac{1}{4}=99\frac34\).
в) \(102\cdot 98=(100+2)(100-2)=\)
\(=100^2-2^2=10000-4=9996\).
г) \(8,6\cdot 7,4=(8+0,6)(8-0,6)=\)
\(=8^2-0,6^2=64-0,36=63,64\).
д) \(4\frac{3}{4} \cdot 5\frac{1}{4}=(5-\frac{1}{4})(5+\frac{1}{4})=\)
\(=5^2 - (\frac14)^2 = 25 - \frac{1}{16}=24\frac{15}{16}\).
е) \(2,7\cdot 3,3=(3-0,3)(3+0,3)=\)
\(=3^2-0,3^2=9-0,09=8,91\).
Пояснения:
Для быстрого вычисления использована формула разности квадратов двух выражений:
\((a-b)(a+b)=a^2-b^2\).
Свойство степени:
\((\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}\).
№732 учебника 2013-2022 (стр. 164):
\(\frac{a}{b}\), где \(a\) и \(b\) — натуральные числа
1) \(a < b\)
Пусть \(a = 2\), \(b = 3\), то \(\frac{a}{b} = \frac23\)
\(\frac{a+1}{b+1} = \frac{2 + 1}{3 + 1} = \frac34\)
\(\frac23 ^{\color{blue}{\backslash4}} < \frac34 ^{\color{blue}{\backslash3}} \)
\(\frac{8}{12} < \frac{9}{12} \) - дробь увеличится.
2) \(a > b\)
Пусть \(a = 3\), \(b = 2\), то \(\frac{a}{b} = \frac32\)
\(\frac{a+1}{b+1} = \frac{3 + 1}{2 + 1} = \frac43\)
\(\frac32 ^{\color{blue}{\backslash3}} < \frac43 ^{\color{blue}{\backslash2}} \)
\(\frac{9}{6} > \frac{8}{6} \) - дробь уменьшится.
3) Доказательство:
\(\frac{a}{b}\) и \(\frac{a+1}{b+1}\).
\( \frac{a}{b} ^{\color{blue}{\backslash b+1}} - \frac{a+1}{b+1} ^{\color{blue}{\backslash b}} =\)
\(=\frac{a(b+1) - b(a+1)}{b(b+1)}= \)
\(=\frac{\cancel{ab} + a - \cancel{ab} - b}{b(b+1)}= \)
\(=\frac{a - b}{b(b+1)}\).
\(b(b + 1) > 0\) при любом натуральном значении \(b\).
Вывод:
— Если \(a < b\), то \(a-b < 0\) и
\(\frac{a}{b} < \frac{a+1}{b+1}\) - дробь увеличивается.
— Если \(a > b\), то \(a-b > 0\) и
\(\frac{a}{b} > \frac{a+1}{b+1}\) - дробь уменьшается.
Пояснения:
1. Сравнение дробей свели к разности, которая равна \(\frac{a-b}{b(b+1)}\).
2. Так как \(b\) - натуральное число, знаменатель \(b(b+1) > 0\), поэтому знак дроби зависит только от знака разности \(a-b\).
3. Следовательно, при \(a < b\) дробь увеличивается, а при
Вернуться к содержанию учебника