Упражнение 734 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \( py-p-1=0 \)

\( py=p+1 \)

1 случай:

Если \(p\neq0\), то

\( y=\frac{p+1}{p} \)

2 случай:

Если \(p=0\), то

\(0y = 0 +1\)

\(0y = 1\) - неверно.

Ответ: если \(p\neq 0\), то \( y=\frac{p+1}{p} \); если \(p=0\), то решений нет.

б) \( py-3y-4p+12=0 \)

\((p-3)y-4p+12=0 \)

\( (p-3)y=4p-12 \)

Если \(p-3\neq 0\), то есть \(p\neq3\):

\( y=\frac{4p-12}{p-3} \)

\( y=\frac{4\cancel{(p-3)}}{\cancel{p-3}} \)

\(y = 4\)

Если \(p-3= 0\), то есть \(p=3\):

\( 0y=4\cdot3-12 \)

\(0y = 12-12\)

\(0y = 0\) - верно при любом \(y\).

Ответ: если \(p\neq 3\), то \(y=4\); если \(p=3\), то \(y\) — любое число.

Пояснения:

В обоих случаях мы выделили множитель при \(y\), чтобы выразить его через параметр \(p\), и получили линейное уравнение, число корней которого зависит от того, отличен от нуля коэффициент при \(y\) или равен нулю. 

Пусть \(a > 0\), тогда \(\frac1a\) - обратное число.

\( a + \frac{1}{a} \geq 2\)

\( a ^{\color{blue}{\backslash a}} + \frac{1}{a} - 2 ^{\color{blue}{\backslash a}} =\frac{a^2 + 1 - 2a}{a} =\)

\(=\frac{a^2-2a + 1}{a} =\frac{(a-1)^2}{a}\)

\(a > 0\), \((a-1)^2 \geq 0\) при любом \(a\), значит, \( \frac{(a-1)^2}{a} \geq 0\), тогда неравенство \( a + \frac{1}{a} \geq 2\) верно для любого \(a > 0\).

Пояснения:

Чтобы выполнить доказательство, нашли значение разности левой и правой частей неравенства

\( a + \frac{1}{a} \geq 2\), получили:

\(\frac{(a-1)^2}{a}\).

По условию \(a > 0\), \((a-1)^2 \geq 0\) при любом \(a\), значит, \( \frac{(a-1)^2}{a} \geq 0\), а известно, что если \(a - b \geq 0\), то

\(a \geq b\), тогда неравенство \( a + \frac{1}{a} \geq 2\) верно для любого положительного \(a\).